무한소적 관점에서의 점, 선, 면의 의미 고찰

Abstract

학교수학에서 도형의 기본단위인 점, 선, 면은 점을 통해 선을 구성하고, 선을 통해 면을 구성하는 방식으로 종종 설명된다. 본 논문은 점을 통해 선과 면을 구성할 수 있다면 도형의 기본단위를 점으로만 한정하여도 충분하지 않은가에 대한 의문으로부터 시작하였다. 이에 점, 선, 면의 의미를 철학적·수학사적으로 탐색하고 점이 선을 구성하는 방식의 이해의 특징은 무엇인지, 그리고 학교수학에서 이들 대상이 어떠한 방식으로 다루어지는 지 조사하였다. 역사적으로 점, 선, 면의 의미는 매우 논쟁적이었으며, 일상적 용어로부터 이데아적 정의, 무정의 용어에 이르는 넓은 범위에 걸쳐 변화하였다. 이러한 변화는 선이나 면과 같은 연속적인 것들의 무한분할가능성에 대한 견해와 관련된다. 특히, 이산적인 것의 합으로 연속적인 것을 나타내려는 무한소적인 해석에 대한 철학적·수학사적 탐색은 이들 대상의 이해 과정에서 발생하는 직관성 용이성과 논리적 엄밀성 간의 끊임없는 갈등을 보여준다. 이때 점의 모임이 선이 되는 관계를 점의 양의 모임이 선의 양이 되는 관계로 해석하는 과정은, 일상적 경험에서 적합하였던 이러한 이해가 논리적·수학적 측면에서 유발할 수 있는 모순을 드러낸다. 이를 토대로 점, 선, 면의 무한소적 해석에서의 유의점을 조명하였다. 학교수학에서의 점, 선, 면 학습의 전개방식을 조사하기 위해 교육과정, 교과서, 학생들의 이해로 나누어 살펴보았다. 학교수학에서 일관되게 강조되는 것은 점, 선, 면의 직관적 이해이다. 이 직관적이라는 수준을 교육과정, 교과서에서는 어떻게 의도하고 있는지 분석하였다. 여러 선행연구 결과에서는 학생들의 직관에 무한소적 생각이 자리하고 있음을 보여주고 있었으며 이는 수학사의 흐름과 유사하였다. 교수학습과정은 인지적 발달 수준에 맞게 변환되어야 하는 바, 이에 따라 우리의 직관과 연관되어 있으면 서도 동시에 혼돈의 여지를 포함하고 있는 점, 선, 면의 무한소적 해석에 대한 학교수학에서의 교육적 시사점을 모색하였다.