보행 안정성 지표(Floquet multiplier)의 편향 오차에 대한 정량적 분석

Abstract

본 연구의 목적은 대표적인 보행 안정성 지표 중 하나인 Floquet multiplier의 추정 오차를 정량적으로 분석하는 것이다. Floquet multiplier는 선행연구에서 이론적인 타당성에 근거를 두고 임상에 적용되어 왔으나 일부연구에서 최소제곱법을 통해 추정한 Floquet multiplier의 편향(bias)이 보고되었다. 이러한 편향은 보행 시 인체 내, 외에 존재하는 많은 소음과 불충분한 표본의 크기에 기인한다. 추정된Floquet multiplier의 편향을 감소시킬 표본의 조건을 확인하기 위해 젊고 건강한 15명의 남성을 10분 동안 트레드밀(treadmill)에서 자연스럽게 걷도록 하고 보행 중 하지 관절 각도를 측정하였다. 이 자료를 바탕으로 본 연구는 표본의 크기 증가에 따라 변하는 Floquet multiplier를 계산하고 선형모델을 이용한 가상실험에서 얻은 Floquet multiplier의 추정 값과 비교하였다. 임상실험과 가상실험에서 추정한 Floquet multiplier는 작은 표본 크기에서는 차이가 크게 나타났지만 표본의 크기가 커짐에 따라 점차 추정치가 일관된 값으로 수렴하였다. Floquet multiplier의 편향 오차는 관절 각도에 대한 보행 정보를 14차원으로 구성하고 1회 300걸음 이상, 5회 이상 반복 측정하여 산출할 경우 무시할 수 있는 수준이였다. 그러나 보행 정보를 7또는 6차원으로 줄이면 편향 오차가 유의하게 증가하였다. 다중선형회귀 시 유발되는 다중공선성을 평가하기 위해 연구참여자들의 최대 상태지수(condition index)를 계산한 결과 평균이 30 이하였다. 이는 보행에 참여하는 관절 각도 사이에 약한 상관관계가 형성됨을 의미한다. 본 연구의 결론은 다음과 같다. 충분한 양의 표본이 확보될 경우 가상실험과 임상실험을 통해 추정한 Floquet multiplier가 유사한 값으로 유사한 경향을 가지고 수렴한다. 이는 안정된 환경에서 장시간 보행 시 일정하게 유지되는, 정량적으로 측정할 수 있는 안정화 지표가 존재함을 제시한다. 또한 보행 측정 시에는 많은 소음이 존재하고 최소제곱법의 특성상 표본의 크기가 작은 경우에 소음의 영향이 커지므로 추정된 Floquet multiplier의 편향을 줄이기 위해서는 충분한 크기의 표본을 확보해야 하며 특히 측정 편의를 위해 표본을 구성하는 관절 각도의 수를 임의로 줄이는 것은 Floquet multiplier의 측정 오차를 증가시키므로 지양해야한다.

The objective of this research is to quantify the bias of Floquet multiplier, an index of dynamic stability of walking. Floquet multiplier has been broadly used to diagnose walking ability of humans and robots, However a few clinical studies reported a bias of Floquet multiplier when it is estimated by the conventional least-square method. The bias can result from either insufficient size of samples of walking data or the noise from various sources. Experiments were performed to investigate the criteria of necessary sample size beyond which the bias of Floquet multiplier becomes insignificant. Fifteen healthy young men walked on a large size treadmill for 10 minutes. The joint angles of the lower body of each subject were measured. Floquet multipliers were calculated based on these data. The sample size that were used to estimate the Floquet multipliers varied from 25 to 500. The estimated values that were obtained from the experiments were additionally compared with those obtained from simulation of linear models. The Floquet multipliers obtained from the experiment and the simulation converged to the similar constants in the similar way as the sample size increases. When the state vector of walking was 14 dimensional

the stride number was over 300

and the trials were repeated 5 times, the bias of the estimation of Floquet multiplier was negligible. However, the bias increased when the state vector is 6 or 7 dimensional. The mean of the maximum condition index of each joint angle was lower than 30, which means correlation of any pair of the lower body joint angles is below moderate. The similarity between the convergence of the Floquet multipliers obtained from experiments and that obtained from simulation supports that 1) a long lasting and quasi-constant stability index exists in human walking, and therefore 2) human walking can be reasonably modelled as a linear time invariant system under a safe and almost constant environment like a treadmill. The result of this study additionally clarifies that any reliable measure of the Floquet multiplier requires a certain amount of sample size to reduce the bias

the validity of any previous study with a small sample size should be reconsidered. Finally, this study found that reducing the dimension of the state vector can significantly underestimate the magnitude of Floquet multipliers.