Convergence of Full Waveform Inversion in the Complex-Frequency Domain

Abstract

This paper studies the convergence of full waveform inversion in complex-frequency domain. First, by blending the point source data with densely sampled sources, mathematical analysis on the Dirichlet-to-Neumann map can be implemented. Here, it is shown that the blended data are expressed in terms of single- and double-layer potentials which immediately generate the Dirichlet-to-Neumann map. In this manner, the stability condition and convergence of the iterative reconstruction method in full waveform inversion can be analyzed for point source data, based on the convergence result for the Dirichlet-to-Neumann map. For Laplace domain case, this study provides a Diffuse Optical Tomography point of view using inverse scattering series starting from constant background model. By applying the Rytov approximation which corresponds to the ratio between true data and modelled data, it is possible to analyze the convergence: from how far from the true solution we can obtain the low resolution approximation.

본 연구는 복소주파수 영역에서 완전 파형역산의 수렴성을 분석하였다. 본 논문의 전반부에서는, 점 송신원으로부터의 탄성파 자료를 블렌딩함으로써 Dirichlet-to-Neumann map 에 관한 수리 해석적 방법이 적용될 수 있도록 하였다. 이 때 블렌딩 된 자료가 Dirichlet-to-Neumann map 을 바로 생성해낼 수 있는 싱글 및 더블 레이어 포텐셜로 나타내어질 수 있음을 보였다. 이러한 맥락에서, 점 송신원으로부터의 완전 파형 역산 반복 해법의 stability 조건과 수렴성을 Dirichlet-to-Neumann map 에 관한 수렴성 분석 결과를 이용하여 분석하는 것이 가능하였다. 또한 논문 후반부의 라플라스 영역 파형 역산의 경우에 대하여는, 분산 광학 토모그래피의 관점에서 균질한 초기 모델로부터의 역 산란 시리즈를 적용하여 보았다. 여기서는 관측된 자료와 모델링 된 자료 사이의 비율 항과 상응하는 Rytov 근사법을 사용하여 수렴성을 분석하고자 하였다. 이를 통하여 실제 모델에서 얼마나 떨어져 있는 초기 모델에서 역산을 했을 때 실제 모델의 저 해상도 근사치를 얻어낼 수 있는가를 알아보고자 하였다.