변분 기법을 적용한 측정 가속도로부터의 변위 및 속도 재구성 기법

Abstract

A new class of displacement reconstruction scheme is presented using only acceleration measured from a structure. For a given set of acceleration data, the reconstruction problem is formulated as a boundary value problem in which the acceleration is defined by the second-order ordinary differentiation of displacement. The displacement is reconstructed by minimizing the least squared errors between measured and approximated acceleration within a finite time interval. The displacement reconstruction problem becomes ill-posed because the boundary conditions at both ends of each time window are not known a priori. Furthermore, random noise in measured acceleration causes physically inadmissible errors in the reconstructed displacement. A Tikhonov regularization scheme is adopted to alleviate the ill-posedness. The governing equation for the reconstruction is derived by taking the variation to the regularized minimization problem, which yield beam on the elastic foundation problem. The conventional FIR (CFIR) filter directly approximates the transfer function of the governing equation, while the FDM-based FIR (FDM-FIR) and FEM-based FIR (FFIR) filter are formulated by the discretization of the minimization problem with the finite difference method and the finite element method, respectively. The FFIR filter is capable of reconstructing displacement and velocity simultaneously. The fundamental characteristics of the proposed filters are investigated in the frequency domain using the transfer and accuracy functions. It is shown that the proposed FIR filters suppress low frequency noise components in measured accelerations effectively, and reconstruct physically meaningful displacement accurately. The validity of the proposed filters is demonstrated through several examples. In the final example, a force-acceleration-based identification of the flutter derivatives of bridge decks in a wind tunnel is presented. An equation error estimator (EEE), which is the least square residual errors of the equation of motion, is employed to formulate the force-based identification scheme. Unlike most of previously proposed methods, the acceleration of an oscillating section model is measured in wind tunnel tests. The velocity and the displacement required in the EEE are reconstructed from the measured acceleration using the FFIR filter. As the EEE is expressed as a quadratic form with respect to flutter derivatives, neither an iterative solution scheme nor a complex eigenvalue analysis is required for optimization. The EEE method is capable of identifying the representative values of the flutter derivatives by one optimization process using multiple measurements for a wind velocity in wind tunnel tests and can be generally employed for the extraction of the flutter derivatives regardless of the testing procedures.

변위, 속도, 가속도와 같은 구조물의 동적응답특성은 구조물의 건전성감시(Structural Health Monitoring)와 제어(Control)에 있어서 필수적인 계측치들이다. 이러한 동적응답 중 변위이력은 비선형 거동을 하는 구조물의 건전성감시와 제어에 있어서 중요한 정보를 담고 있기 때문에 이러한 변위 이력을 확보하는 것은 매우 중요하다. 하지만 일반적으로 교량이나 고층빌딩과 같은 대형구조물에서 이러한 변위 이력을 측정하기 위한 변위계의 고정된 지점을 확보하는 것이 불가능하며 이러한 이유로 인하여 대형 토목구조물에서 변위를 직접적으로 측정하는 것은 한계가 있다. 이에 반해, 가속도는 관성을 기반으로 하여 측정되기 때문에 고정된 지점을 확보할 필요가 없으며 넓은 주파수 범위에서 다양한 종류의 가속도계가 상업적으로 판매되기 때문에 대형구조물로부터 측정이 용이하다. 이러한 측정의 용이성과 높은 해상도로 인해 가속도가 여러 공학적 문제에서 가장 손쉽게 측정되는 동적응답이라고 할 수 있다. 수학적으로 가속도는 변위의 2계 미분에 해당하고, 따라서 이러한 정의를 바탕으로 측정가속도로부터 변위를 계산하기 위해서 많은 노력이 시도되었다. 이중 뉴마크방법으로 대표되는 시간누적속성(time-marching)에 기반을 둔 적분 알고리즘은 측정가속도로부터 변위를 계산하기 위한 가장 손쉽고도 명확한 방법이라고 할 수 있다. 하지만 이러한 시간누적성에 기반을 둔 적분알고리즘들은 여러 가지 원인에서 기인한 문제점들을 갖고 있다. 먼저 이러한 시간누적성에 기초한 적분을 수행하기 위해서 필요한 초기값인 변위와 속도의 초기값은 일반적인 문제에서 측정이 불가능하거나 혹은 부정확하다는 문제점이 있다. 이러한 초기치 오차로 인한 문제뿐만 아니라, 가속도 측정과정에서는 일반적으로 여러 가지 요인에 의해서 무작위(random) 측정오차가 가속도 측정치에 포함되고 이러한 측정오차는 물리적으로 의미 없는 결과를 만들게 된다. 특히 이러한 측정 잡음 중 저주파 성분은 2차 적분과정에서 증폭되어 계산된 변위를 심각하게 왜곡시킨다. 또한 이러한 저주파 성분의 변위 오차 증폭은 특히 대형토목구조물과 같이 저주파 변위가 지배적인 구조물에서 복원된 변위의 신뢰도를 매우 저하시킨다. 이러한 이유로 이 논문은 측정 가속도로부터 변위 및 속도를 정확하게 재구성하는 기법을 제안한다. 이러한 시간영역에서의 재구성기법에서는 측정가속도로부터 변위 및 속도를 계산하는 문제를 기존의 시간누적속성에 기초한 초기치문제(initial value problem)로서 보는 것이 아니라 유한한 크기의 측정된 가속도에 대해서 경계조건문제(boundary value problem)로 정의하여 변위 및 속도를 재구성하게 된다. 시간창(time window)이라고 하는 유한한 크기의 시간에 대해서 가속도이력이 이미 측정되어 주어져 있다면, 변위의 2계 미분은 가속도이기 때문에 변위는 하나의 시간 창 내부에서 측정된 가속도와 재구성될 변위의 2계 시간 미분사이의 차를 최소화하는 최적화 문제를 풀어 구할 수 있다. 그리고 이 2계 시간미분은 중앙차분(central finite difference) 또는 유한요소법(finite element method)를 이용하여 근사할 수 있다. 이러한 이산화를 통해 변위재구성을 최종적으로 FIR-filter(finite impulse response filter) 형태로 제안하고 필터 관점에서의 건전성을 평가한다. Scanlan 에 의해 공탄성(aeroelastic) 방정식에 근거한 플러터계수가 제안된 이래로 풍동실험을 통한 교량단면의 플러터계수 추정에 대해서 많은 연구들이 수행되었다. 일반적으로 풍동실험에서 변위이력만을 측정하고 또한 직접적인 속도의 측정은 매우 난해하기 때문에, 풍동실험은 공간(space)상에서는 모든 자유도가 측정 가능하지만 상태(state)상에는 완전측정(full measurement)이 불가능하다. 따라서 계수추정문제는 부분측정(partial measure-ment)으로 인해 동방정식에서 바로 구할 수 없다. 이러한 문제를 해결하기 위해서 많은 기법들이 수학적 모델로부터 구해진 시스템변위응답과 측정변위 사이의 상대오차를 최소화하는 OEE(output error estimation)에 기반하여 제안되었다. 하지만 완전측정이 가능한 경우, 이러한 OEE기반의 최소화 문제를 풀지 않고 직접 동방정식상에서 힘의 오차를 최소하는 문제를 통해 플러터계수를 추정할 수 있다. 따라서 이 논문에서는 재구성기법을 통한 완전측정치를 이용하여 직접적으로 동방정식의 오차를 최소화하여 플러터계수를 추정하는 EEE(equation error estimation) 방법을 제안한다. 또한 측정 가속도도부터 변위와 속도이력을 계산하여 완전측정이 가능하게 하는 FFIR필터를 플러터계수 추정에 이용하는 과정을 제안한다.