A study on continuum modeling of thin film considering surface and interface effects in nanoscale

Abstract

Due to the evolution of fabrication technology of semiconductor, a lot of micro electro-mechanical systems have been developed and have been used in daily life. Nowadays, not only micro-scale devices but also lots of nano-scale devices, such as a bio sensor and a nano resonator, have been developed. Because surface-to-volume ratio becomes very high in nano-scaled devices, surface effect makes a great effect on mechanical properties and behaviors of nano structures. The one of representative examples of surface effect is equilibrium strain of nanofilm and nanowire in relaxed state. Because the magnitude of equilibrium strain might exceed the linear elastic assumption in a thin nanofilm with a few nanometer thickness, hyperelastic material properties should be considered in nano-scale devices according to equilibrium strain. Besides this surface effect, interface effect plays an important role in equilibrium configuration and mechanical behavior in multi-layered nano structures. In this dissertation, continuum-based multiscale modeling for multi-layered nanostructures is proposed. This proposed model includes surface effect and interface effect which are calculated by atomistic simulations. In order to design and analyze multi-layer thin film using nonlinear finite element method, four modeling techniques are proposed. First, surface relaxation model for FCC crystal structure is proposed to calculate surface parameters which are required to describe surface effect on continuum modeling. In this section, the equilibrium strain in nanofilm is evaluated using calculated surface properties and the analytical solution for size-dependent elasticity is also provided using proposed surface relaxation model. Second, continuum-based multiscale model including anisotropic surface effect is proposed. In this model, linear surface elasticity model is utilized to describe surface constitutive relation. The proposed multiscale model describes the size-dependent elasticity due to surface effect very well and it is also reported that the hyperelastic effect of bulk region as well as surface effect should be considered in nanofilm. Third, Hyperelastic model for transition metal and silicon materials is proposed. A strain energy function is used to represent hyperelastic relations and is composed of polynomial based function with nine strain invariants. The hyperelastic material constants are evaluated by least square method using the results of atomistic calculation. The proposed hyperelastic model can be embedded in finite element method much easier than Cauchy-Born rule. Finally, interface model for a covalent bond is provided for multi-layered nano structures. Using this model, the equilibrium configuration of Si/SiGe bilayer nanosprings is characterized by strip orientation and width-to-thickness ratio. Although the proposed continuum-based multiscale model including surface and interface effects and hyperelastic model are far more efficient than atomistic calculations in designing nano structures, they give comparable results to Cauchy-Born rule and atomistic simulations. These continuum-based approaches will be very useful and promising designing tools for nano-scaled structures composed of nanofilms.

반도체 제작 기술의 발전으로 현재까지 많은 마이크로 스케일의 전기기계적인 장치(MEMS)들이 개발되어 사용되고 있다. 최근에는 마이크로 스케일뿐만 아니라 바이오센서와 나노공진기와 같은 많은 나노 스케일의 장치들이 개발되고 있다. 나노 스케일의 장치에서는 표면대부피비(surface-to-volume ratio)가 매우 크기 때문에 표면효과가 나노구조물의 기계적 특성과 거동에 매우 큰 영향을 미치게 된다. 표면효과의 대표적인 예로 이완상태(relaxed state)에서의 나노박막과 나노와이어의 평형 변형율(equilibrium strain)이 있다. 나노박막은 표면에 작용하는 표면응력에 의하여 평형상태를 이루기 위해 면내 방향으로의 변형이 발생하게 된다. 나노와이어의 경우는 길이방향으로 변형이 일어난다. 이때 발생하는 변형율을 평형 변형율이라고 한다. 이러한 평형 변형율의 크기는 수 나노미터 두께의 나노박막에서는 선형 탄성 영역을 벗어나므로, 나노스케일의 장치의 해석에는 평형 변형율에 따른 비선형 탄성 효과가 고려되어야 한다. 이러한 표면효과 이외에도 계면에서 발생하는 계면효과는 다중박막 나노 구조물의 형상과 기계적 거동에 매우 중요한 역할을 담당한다. 본 논문에서는 다중박막 나노구조물의 해석을 위한 연속체 기반의 멀티스케일 모델링 기법들을 제안한다. 본 논문에서 제안하는 멀티스케일 모델은 원자수준의 계산을 통하여 계산되는 물성들을 이용한 표면효과와 계면효과를 포함한다. 다중박막의 비선형 유한요소 해석을 위해 본 논문에서는 네 개의 모델링 기법이 제안된다. 첫 부분에서는 연속체에 표면효과를 나타내기 위해 필요한 표면 물성을 계산하기 위해 표면 이완 모델(surface relaxation model)이 제안된다. 이 부분에서는 계산된 표면 물성을 이용하여 평형 변형율(equilibrium strain)과 크기에 의존적인 탄성(size-dependent elasticity)을 계산된다. 두 번째 부분에서는 비등방성 표면효과를 고려한 연속체 기반의 멀티스케일 모델이 제안된다. 이 모델에서는 표면의 구성방정식으로 선형 탄성 모델이 사용된다. 제안된 멀티스케일 모델을 이용하여 크기에 의존적인 탄성의 계산이 가능하며, 이 결과는 원자적 계산에 의해 계산된 해석해와 매우 잘 일치한다. 또한, 이 모델은 크기에 의존적인 탄성의 계산에 있어서 표면효과뿐만 아니라 벌크 영역의 비선형 물성이 중요한 영향을 미치고 있음을 보여준다. 세 번째 부분에서는 천이 금속에 대한 비선형 탄성모델이 제안된다. 변형율 에너지 함수(strain energy density function)가 비선형 탄성 거동을 묘사하기 위해 사용되며, 이 함수는 9개의 변형율 불변량(strain invariant)으로 표시되는 다항식의 형식으로 구성된다. 비선형 탄성 계수들은 원자수준의 전산모사의 결과를 이용하여 최소자승법으로 계산된다. 이 비선형 탄성 모델은 Cauchy-Born 법칙에 의한 원자적 계산보다 단순하기 때문에 더 쉽게 유한요소 해석에 적용이 가능하다. 마지막으로 다중박막 나노구조물의 해석을 위한 공유결합을 가지는 계면에 대한 모델링 기법이 제안된다. 이 모델을 이용하여 방향 및 폭과 두께비에 의한 Si/SiGe 나노스프링의 형상 변화에 대 한 연구가 수행되며, 계면 효과뿐만 아니라 비대칭적 표면 물성을 가지는 다이아몬드 구조의 표면효과를 고려한 해석 기법도 함께 제안된다. 본 논문에서 제안하는 비선형 탄성 모델과 표면효과와 계면효과를 고려한 연속체 기반의 멀티스케일 모델링 기법들은 원자적 계산방법에 비해 훨씬 더 빠르고 간편하게 계산이 가능한 방법들이면서도 Cauchy-Born 기법과 원자적 계산에 필적하는 계산 결과들을 보여준다. 본 논문에서 제안한 연속체 기반의 기법들은 나노박막으로 구성되는 나노구조물의 해석에 매우 유용하고 전망이 있는 해석 도구들이 될 것이다.