대형 시스템의 동적 해석을 위한 다단계 부구조화 기법과 시스템 축소기법 연구

Abstract

컴퓨터 성능의 지속적인 발전으로 인하여 유한 요소법은 복잡한 구조물의 해석과 통합의 중요한 부분을 차지하게 되었다. 컴퓨터 메모리와 연산 속도가 증가함에 따라 시스템이 가지는 동적 거동의 자세한 묘사를 위해 보다 큰 규모의 해석 모델이 가능하게 되었다. 이러한 대형 시스템으로부터 신뢰도 높은 해석결과를 얻기 위해서는 보다 큰 규모의 전산 자원과 연산 시간이 요구된다. 축소 시스템 기법은 전산 자원의 한계를 극복할 수 있는 중요한 기술로 각광받고 있고 다양한 축소 시스템 기법들이 제안되어왔다. 축소 시스템 기법은 강성 행렬과 질량행렬을 이용하여 저차 고유 모드를 근사하는 것으로 신뢰할 만한 축소 시스템을 구축하기 위해서는 주자유도를 적절하게 선정할 필요가 있다. 하지만 기존의 주자유도 선정 기법들은 연산의 효율성과 해석의 정확성을 동시에 담보하는데 있어서 문제점이 존재한다. 본 연구에서는 기존에 제안된 2단계 축소기법을 반복적 개선된 시스템 축소 기법을 적용하여 중간 주파수 대역에서의 정확도까지 확보하면서 효율성을 개선하는 방안을 모색하였다. 또한 본 연구에서는 절점 단위 2단계 축소 기법을 제안한다. 이 기법은 두 단계로 이루어지는데 첫 단계에서는 절점 단위의 에너지 평가자를 통해서 주 절점을 선정하고 선정된 절점에 연계된 자유도로 구성된 1단계 축소 시스템을 구축한다. 다음 단계에서는 이전 단계에서 구축된 축소 시스템에 순차적 소거법을 적용하여 최종적인 주자유도를 선정한다. 이 기법을 통하여 전산 소요 비용을 효과적으로 줄이면서 관심 주파수 전체에 있어서 높은 정확도를 보장한다. 비록 축소 시스템이 정확한 고유치 해석을 보장하더라도 대형 시스템에 적용하는데 몇 가지 문제가 남아있다. 주자유도의 선정이 지엽적이거나 저차 모드를 과도하게 강조하는 경우가 발생하고 간혹 중요한 모드가 제외되는 등의 문제들이 발생된다. 그리고 대형 시스템에 직접 적용하는데 있어서 무시 못할 규모의 전산자원이 요구된다. 이러한 문제점은 부구조화 기법을 축소 시스템 기법과 연동함으로 해결할 수 있다. 본 연구에서는 기존에 보고된 부구조화 기법과 연동한 축소 시스템 기법을 반복적 연산과정을 통하여 개선하는 방안을 살펴본다. 개선과정은 반복적 개선된 시스템 축소 기법(IIRS)과 유사성을 가진다. 축소 시스템 기법의 효율성을 개선하려는 노력의 연장선에서 다단계 시스템 축소 기법을 제안한다. 이 기법은 기본적으로 2단계 축소기법을 근간으로 한다. 전체 시스템을 그래프 분할 프로그램을 이용한 자동화 과정을 통해 계층적으로 다수의 부구조로 분할한다. 다음으로 각 부구조의 분절화된 고유치 문제를 2단계 축소 기법과 IIRS기법으로 축소하고 축소된 부구조의 시스템을 합성하여 최종적인 축소 시스템을 구축한다. 이 기법을 동적 구조 문제의 모달 해석과 Newmark 시간 적분 기법을 적용한 과도 시간 응답 해석, 주파수 응답해석에 적용하였다. 다단계 시스템 축소 기법의 정확도를 높이기 위해서 향상된 다단계 부구조화 기법을 제안한다. 여러 단계의 계층적으로 분할된 부구조가 가지는 장점에 기초하여 이 기법은 보다 넓은 관심 주파수 영역에서 만족할만한 정확도를 가지고 소수의 정보만을 이용하여 축소 시스템을 구축한다. 특히 경계영역에서의 유연도를 결정하는 가속도의 영향력을 표현하는 동적 가정을 도입하여 고정 경계에서 구한 모드의 정확도를 높였다. 기존의 방법들과 달리 부구조들이 가지는 동적 특성을 축소된 시스템의 재해석 과정이나 과도한 수의 축소 기저의 추가 없이 표현하면서 고유치 해석 정확도를 효율성의 저하를 최소화 하였다. 최종적으로 제안된 기법의 효율성을 다양한 수치 예제들을 통하여 검증한다.

Ever-increasing capabilities of digital computer have enabled finite element method to serve as a practical tool for the analysis and synthesis of complex structures. As the speed and memory of computer increase, more and more large-scaled models are constructed for the detailed and accurate description of the system. a huge size of computational resources and a large amount of computing time is still needed for a reliable solution which represents the detailed description of dynamic behavior in large-scale problem. Reduced system method have been considered as important technique to resolve computational resource problem. For a few decades, various approximate techniques have been developed to calculate the eigenvalues in a reduced manner. Reduction system method approximates the lower eigenmodes that represent the global behavior of the structures. In order to construct reliable reduced systems it is essential to select the proper primary degrees of freedom (PDOFs). However, traditional schemes for selecting the PDOFs have not satisfied the efficiency of time cost and solution accuracy at the same time. In the previous study, a two-level condensation scheme (TLCS) proposed for selection scheme of the PDOFs. The present study proposes improve previous TLCS with combination of the iterated improved reduced system method (IIRS) to increase accuracy of the higher modes intermediate range. And also, this study proposes a node-based two-level condensation scheme. This scheme consists of two-steps. In the first step, the candidate region is selected for constructing the first reduced system by energy estimation in node-level. In the second step, PDOFs are selected by sequential elimination method from DOFs linked to the selected nodes through the first step. The proposed method saves computational cost efficiently and recovers eigenvalues of the full system with high accuracy in overall frequency range of interests. Although the reduced system can present accurate eigenvalue and eigenvector, they have several troubles for applying to the large scale problem. The selection of PDOFs might be localized and the eigenvalue prediction might emphasize excessively the lower modes or lose the important modes unless the PDOFs are selected satisfactory. Sometimes, it takes considerable amount of computing time to construct a reduced system in large-scale problem. These troubles in constructing reduced system can be avoided by applying reduction scheme in substructuring scheme. This study presents iterative enhancement of the previous TLCS combined with sucturcturing scheme applying interation process which similar with IIRS technique. The efforts to advance an efficiency of reduction scheme leads a development of the multi-level system condensation (MLSC) which is initially based on the TLCS method. In first step, the global system is recursively partitioned into a hierarchy of substructures by the graph partitioning program. And next, each uncoupled sub eigenvalue problems condensate by TLCS. After assembly process of each reduced sub-eigenvalue problem, final reduced system is constructed. The MLSC is applied into the modal analysis, the direct time response analysis and the frequency response analysis of structural dynamic problems. For the transient time response analysis, the MLSC is combined with the Newmarks time integration scheme. In order to accelerating the accuracy of the MLSC method, an enhanced multi-level substructuring scheme is presented. Based on the advantage of substructuring on several levels, the method constructs a reduced system of much smaller number of unknowns which still yields satisfactory accuracy over a wide frequency range of interest. Using the first order dynamic approximation, an enhanced methodology for synthesizing the modes obtained with a fixed interface component is proposed. The proposed approach can be used to improve the accuracy of calculated eigenproperties by utilizing the dynamic aspect of component modes without re-analyzing the reduced system or calculating additional normal modes of substructures. Finally, the efficiency of the proposed method is demonstrated by numerical examples.