Problems in harmonic analysis related to space curve

Abstract

In this dissertation, we study the boundendness of operators defined by space curves which has been studied in harmonic analysis. First, we study the orthonormal generalization of restriction estimates to curves which generalize restriction theorem for curves to an orthonormal system. We obtain sharp estimates in a certain range and extend it to variable coefficient cases. Secondly, we study the boundedness of Bochner-Riesz type operator defined by a curve in Rd. For the helix in R3, we use square function estimate and Nikodym maximal function to obtain boundedness for p > 6. We also recover the estimate in a certain range and obtain higher dimensional results by using discretized restriction theorem and the decoupling inequality for curves. Thirdly, we study averaging operator. We show that the decoupling for the cone or square function estimate implies sharp Sobolev regularity estimate and maximal estimate for curves in R3. Lastly, we study the adjoint restriction operator over hypersurfaces. We obtain sharp estimate for the adjoint restriction operator which is restricted to the sphere in the case of nondegenerate curves and also for finite type curves. We also consider restriction to hyperplanes and special kinds of cylinders. Besides, we discuss Lp−Lq boundedness of eigenfunctions of Laplace-Beltrami operator on compact Riemannian manifold restricted to curved surfaces. And then we prove the sharp estimate for the adjoint restriction operator defined by cone restricted to the sphere and general measure in R3.

이 학위논문에서는 조화해석학에서 연구되는 공간곡선에 관련된 연산자들의 유계에 관해 연구하였다. 먼저 곡선 제한 작용소를 정규기저 직교로 확장하고 이에대한 유계성을 연구하였다. 일정 구간에서 최적 계측을 얻었고, 이 결과를 가변 진동 적분 연산자로 확장하였다. 두번째로, 곡선에서 정의된 보크너-리즈 형 연산자의 유계에 관해 연구하였다. 제곱 함수와 극대 함수를 이용하여 p > 6 일 때 유계성을 보이고, 또한 공간곡선에서 정의된 제한 작용소의 유계성과 디커플링 부등식을 이용하여 부분적인 결과를 얻었다. 세번째로, 평균 연산자에 대해 연구하였다. 원뿔에서 정의된 연산자의 제곱 함수와 디커플링 부등식을 이용하여 평균연산자의 쏘볼레프 부등식 및 극대연산자의 유계성을 얻었다. 마지막으로, 공간곡선에서 정의된 수반 제한 작용소를 다시 초곡면에 제한하였을 때의 유계성에 대해 연구하였다. 곡면이 구면인 경우에 제한시킬 경우 곡선이 비퇴화 곡률을 갖거나 유한형인 경우 최적 계측을 규명하였다. 그리고 이를 곡면이 초평면이거나 원기둥인 경우로 확장시켰다. 추가적으로, 라플라스 벨트라미 연산자의 고유함수를 휘어진 곡면에 제한시켰을 때의 유계성과의 관련성을 조사하였다. 그리고 원뿔위에서 정의된 제한 작용소를 다시 구면에 제한시킬 때, 혹은 일반적인 계측에 대해 최적 유계를 얻었다.