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Topological combinatorics in rainbow set problems : 무지개 집합 문제에서의 위상수학적 조합론
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- Authors
- Advisor
- 국웅
- Issue Date
- 2019-08
- Publisher
- 서울대학교 대학원
- Keywords
- Rainbow set ; independence complex ; non-cover complex ; domination parameters ; independent set
- Description
- 학위논문(박사)--서울대학교 대학원 :자연과학대학 수리과학부,2019. 8. 국웅.
- Abstract
- $\mathcal{F}=\{S_1,\ldots,S_m\}$를 $V$의 공집합이 아닌 부분 집합들의 모임이라 할 때, $\mathcal{F}$의 무지개 집합이란 공집합이 아니며 $S=\{s_{i_1},\ldots,s_{i_k}\} \subset V$와 같은 형태로 주어지는 것으로 다음 조건을 만족하는 것을 말한다. $1\leq i_1<\cdots
주어진 집합계가 특정 조건을 만족하는 무지개 집합을 가지기 위한 충분 조건을 찾는 문제는 홀의 결혼 정리에서 시작되어 최근까지도 조합수학에서 가장 대표적 문제 중 하나로 여겨져왔다. 이러한 방향으로의 문제를 무지개 집합 문제라고 부른다. 본 학위논문에서는 무지개 집합 문제와 관련하여 위상수학적 홀의 정리와 위상수학적 다색 헬리 정리를 소개하고, (하이퍼)그래프에서의 무지개 덮개와 무지개 독립 집합에 관한 결과들을 다루고자 한다.
Let $\mathcal{F}=\{S_1,\ldots,S_m\}$ be a finite family of non-empty subsets on the ground set $V$. A rainbow set of $\mathcal{F}$ is a non-empty set of the form $S=\{s_{i_1},\ldots,s_{i_k}\} \subset V$ with $1 \leq i_1 < \cdots < i_k \leq m$ such that $s_{i_j} \neq s_{i_{j'}}$ for every $j \neq j'$ and $s_{i_j} \in S_{i_j}$ for each $j \in [k]$. If $k = m$, namely if all $S_i$ is represented, then the rainbow set $S$ is called a full rainbow set of $\mathcal{F}$.
Originated from the celebrated Hall's marriage theorem, it has been one of the most fundamental questions in combinatorics and discrete mathematics to find sufficient conditions on set-systems to guarantee the existence of certain rainbow sets. We call problems in this direction the rainbow set problems. In this dissertation, we give an overview on two topological tools on rainbow set problems, Aharoni and Haxell's topological Hall theorem and Kalai and Meshulam's topological colorful Helly theorem, and present some results on and rainbow independent sets and rainbow covers in (hyper)graphs.
- Language
- eng
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