Gaussian Mixture-based Equivalent Linearization Method for Nonstationary Responses of Nonlinear Structures

Abstract

지진, 강풍 등에 대비한 사회기반시설물의 동적 성능 평가는 설계와 유지보수의 중요한 기준이 된다. 많은 경우 외부에서 가해지는 진동하중은 불규칙적 시간이력을 보이므로 확률 모델에 기반한 해석 방법론이 필요하다. 특히 이를 위해 PSD(Power spectral density function) 모델과 불규칙진동 이론을 적용한 다양한 추계학적 신뢰도 평가 방법론이 정립되어있다. 그러나 비선형 구조물의 경우, 주파수 분해와 중첩원리에 의존하는 PSD 해석 방법론을 포함하여 다양한 불규칙 진동이론을 적용하기에 어려움이 있다. 이러한 한계를 극복하고 효율적이면서도 정확하게 비선형 구조물의 추계학적 성능을 평가하기 위해 가우스 혼합모델을 활용한 등가선형화 방법론(Gaussian Mixture-based Equivalent Linearization Method, GM-ELM)이 최근 새롭게 제안되었다. 구조물 응답의 평균 제곱근 오차를 최소화하는 하나의 등가선형 구조시스템을 도출하는 전통적 선형화 방법론과 달리 GM-ELM은 지진 응답 확률분포를 먼저 추정한 후 이를 정확히 모사하는 다수의 가상 선형 단자유도 시스템 조합을 동시에 정의한다. 정의된 등가선형시스템 집단의 응답으로부터 대상 비선형 구조물의 추계학적 응답을 역으로 근사하는 것이 GM-ELM 방법론의 핵심이다. 이때 응답확률분포의 분해는 가우스 혼합모델(Gaussian Mixture)을 도입하여 여러 개의 가우스 확률분포의 중첩으로 근사하는 과정으로서 이루어지며, 각 가우스 분포는 그와 같은 응답 분포를 가지는 독립적 가상 선형시스템으로 치환된다. 이 과정이 선형화 과정에 해당한다. 평균 횡단율(mean up-crossing rate), 최초통과확률(first-passage probability), 평균최대응답(mean peak response) 등 비선형 응답을 근사하기 위한 조합식이 제안되어 있으며, 확률분포의 보존과 다수의 선형시스템 도입이라는 GM-ELM의 특성으로 인해 다양한 한계 상태에 대해서 우수한 예측 성능을 보여주었다. 그러나 기존 GM-ELM은 몇 가지 해결되지 않은 제약을 지니고 있다. (1) 각 등가시스템 당 한 개의 최적화 제약식만이 주어지므로 등가모델의 유연도가 부족하며, (2) 가진-응답이 정상과정(stationary process)으로 제한된다. 또한, (3) 등가선형시스템이 가진 세기에 따라 쉽게 변화하는 특성을 지니고 (4) 특정 조건에서 최초통과확률을 과대평가하는 경향을 보인다. 본 연구는 기존 개발된 GM-ELM을 보완함으로써 상기 네 가지 문제점을 해결하고 다양한 추계학적 공학 문제에 적용하도록 돕는 것을 목표로 한다. 첫 번째로, 기존 GM-ELM은 구조 응답의 시간이력을 1차원 응답 확률분포로 압축하여 표현하므로, 시간이력적 특성을 충분히 고려하기 어려운 한계가 있다. 또한 등가선형시스템을 정의하기 위해 응답의 분산에 대한 제약식만이 주어지므로 시스템의 강성/감쇠 특성 중 한 가지를 최적화하고, 다른 한 가지는 주관적 판단에 의존하였다. 이러한 가정에서 발생하는 오차를 제거하기 위해 본 연구에서는 이변량(bivariate) GM-ELM을 제안하여 확률변수 공간을 2차원으로 확장하고, 응답과 응답의 시간 변화율의 결합확률분포를 고려할 것을 제안하였다. 즉, 등가선형시스템 조합을 도출하기 위해 기존 일변량 가우스 혼합모델이 아닌 이변량 가우스 혼합모델을 도입하였다. 응답 시간변화율의 분산 정보를 추가로 도입하여 강성/감쇠 모두 최적화된 선형시스템조합을 찾아내었으며, 이에 따라 추정 결과가 향상되는 것을 수치 예제를 통해 확인하였다. 다음으로 지진 취약도 해석에 GM-ELM을 적용하기 위한 기법을 개발하였다. 기존 GM-ELM에서는 시스템 응답을 정상과정으로 한정하여 응답의 순간확률분포가 전체 프로세스를 대표하도록 하였다. 그러나 응답이 비정상과정(nonstationary process)인 경우 순간확률 분포가 시간에 따라 변화하기 때문에 이를 전체 시간이력을 대표하는 확률분포로 사용하기에는 적합하지 않다. 본 연구에서는 이러한 문제를 해결하기 위해 시간에 따라 변화하는 응답의 확률분포를 시간 축 내에서 평균한 시간평균 응답분포를 활용할 것을 제안하였다. 기존 순간응답분포 대신 시간평균 응답분포를 재현하는 등가선형 시스템을 찾아냄으로써, 비정상과정 응답 특성 역시 정상과정의 경우와 유사한 방식으로 간편하게 근사 할 수 있음을 증명하였다. 지진동은 강한 비정상성(nonstationarity)을 지니므로, 본 개발을 통해 지진공학에 대한 GM-ELM의 적용성을 크게 향상하였다. 한편 기존 GM-ELM은 가진 세기에 따라 선형시스템 특성이 민감하게 변화하는 특성을 지닌다. 가진 세기가 변화하면 확률분포도 변형되므로 가우스 혼합 모델 근사 및 시스템 최적화 과정을 다시 반복해야 하기 때문이다. 그러나 지진 취약도 곡선을 얻기 위해서는 일련의 지진동 세기에 따른 구조물의 파괴확률을 산정하는 과정이 필요하며, 이때 각 세기마다 모든 선형화 과정을 반복하는 것은 비효율적이다. 즉, 효율적인 지진 취약도 해석을 위해서는 가진 강도에 따라 변하지 않는 고정 선형시스템의 개발이 요구되었다. 이를 위해 본 논문에서는 응답확률분포에 강도변수를 추가하여 한 차원을 높인 강도-응답 확률분포를 활용할 것을 제안하였다. 강도-응답 확률분포를 활용하여 기존과 같은 방법으로 등가선형시스템을 정의할 경우 그 시스템조합은 가진 강도에 따라 변하지 않으며, 다만 비선형 응답에 대한 각 시스템의 기여도만 가진 강도에 따라 재산정되는 것을 증명하였다. 이러한 기여도의 변화는 가우스 혼합 모델로부터 손쉽게 추론이 가능하므로 취약도 해석 효율성이 크게 개선되었다. 나아가 고정 선형시스템을 알아내는 데 필요한 강도-응답확률분포를 효율적으로 추정하기 위한 스케일링 근사 방법을 제안하였다. 마지막으로 최초통과확률 추정 공식을 새롭게 제안하고 GM-ELM에 적용할 수 있도록 추가 개발하였다. 최초통과확률은 시스템의 시간이력 응답이 특정 한계상태를 한 번 이상 초과할 확률을 의미하며, 지진 취약도 분석 등 다양한 공학 시스템의 신뢰도 평가에 활용되고 있다. 그러나 최초통과확률 해석의 경우 정상과정 및 선형 응답 가정하에서도 적용 가능한 정해가 존재하지 않는 난제로 알려져 있다. 따라서 이를 해결하기 위한 다양한 근사식이 제안되어 있고, 앞선 GM-ELM 해석 역시 대표적인 최초통과확률 추정 공식인 푸아송 근사법(Poisson approximation)에 의존하였다. 그러나 푸아송 근사의 경우 특정 주파수 대역폭(bandwidth) 응답에서 파괴확률을 지나치게 보수적으로 산정하는 한계가 있다. 이에 본 논문에서는 새로운 최초통과확률 공식을 제안하였다. 기존 방식과 다르게 각 통과사건, 즉 진동하는 시간이력 응답이 한계상태를 넘어가는 사건의 발생 특성을 푸아송-가지치기 프로세스 모델(Poisson Branching Process model, PBP)로 모사하였으며, 모델 식으로부터 최초통과확률 파괴 공식을 유도하였다. 예제를 통해 제안 공식이 기존 공식들과 비교하여 안정되게 정확한 예측 성능을 보여주는 것을 확인하였다. 나아가 제안한 PBP 기반 최초통과확률 공식을 GM-ELM 해석결과와 결합하여 비선형 응답 해석에 적용하였다. 이를 위해 비선형 구조물 응답의 비정규성(non-Gaussianity)과 주파수대역 특성을 반영하도록 PBP 공식을 조정하였다. 수치 예제를 통해 제안 방법론이 비선형 비정상성 응답의 최초통과확률을 높은 수준의 정확도로 추정하는 것을 확인하였다. 제안된 GM-ELM 방법론은 모두 지진공학 예제를 사용하여 검증하였다. 다양한 비선형 다자유도 구조물과 비정상과정 가진에 적용된 수치 예제를 통해 성능과 적용성을 검증하였으며, 이를 바탕으로 GM-ELM을 활용한 추계학적 비선형해석이 추후 실질적인 공학 문제의 해결에 기여할 수 있을 것으로 기대된다.

Reliability assessment of a structural system subjected to stochastic excitations, e.g. earthquake, wind and wave, plays an important role in design and maintenance decisions. However, the random nature of excitations and the complex behavior of nonlinear structures may make the evaluation a challenging task. In this regard, stochastic dynamic analysis has often been considered as a useful tool and substantial progress has been made in the past decades. Nevertheless, the analysis of general multi-degree-of-freedom nonlinear systems subjected to general nonstationary excitations remains as a challenging task with significant difficulties. To tackle the challenges, Gaussian Mixture-based Equivalent Linearization Method (GM-ELM) was recently developed. Unlike conventional linearization methods, GM-ELM identifies a set of multiple linear oscillators as an equivalent linear system (ELS), which collectively reproduce the nonlinear responses. Specifically, the decomposition is made by approximating a general response PDF of a nonlinear system in terms of the Gaussian mixture (GM) model. The main motivation of this decomposition is that the response of the linear system under a Gaussian excitation is guaranteed to be a Gaussian distribution. Using the multiple linear oscillators, accurate estimates of nonlinear response statistics can be obtained for the whole response range up to the extreme criteria. The response statistics include instantaneous failure probability, mean crossing rates and first-passage probabilities for different threshold levels, and mean peak responses. In this dissertation, GM-ELM is further developed to promote its application in more realistic problems, especially focusing on the earthquake engineering applications, as well as to increase its accuracy and efficiency. First, in order to account for the energy dissipation of the nonlinear hysteretic behaviors, bivariate GM-ELM is developed. Instead of using univariate response PDF for GM-based linearization, it is proposed to use the joint PDF of the response and its derivative when identifying ELS. The additional information on the response time derivative allows us to optimize equivalent damping values, as well as the equivalent stiffness values. This extension removes the previous heuristic assumptions on equivalent damping and therefore improves the accuracy in a class of random vibration problems. Moreover, bivariate GM-ELM is still consistent with the basis of GM-ELM since the derivative of stationary Gaussian random process is also a Gaussian process, i.e. the joint PDF of response and the derivative response of the linear system is inherently a bivariate Gaussian distribution. The modified response combination equations are derived accordingly. Next, to facilitate the applications of GM-ELM to practical earthquake engineering problems, several remaining challenges were diagnosed and addressed. First, to incorporate nonstationary responses, temporal-average GM-ELM is proposed. It is shown that by introducing a GM model that fits the temporal-average of response PDF, and by identifying the corresponding ELS, the average response statistics of nonlinear system can be obtained. Secondly, an extended version of GM-ELM analysis is proposed to identify the ELS that is invariant to the scaling of ground motions. It is termed the intensity-augmented GM-ELM since this property is gained by pre-implementing the intensity dependency to the response space by augmenting another variable which is related to the seismic intensity. It is shown that the ELS identified by this intensity-augmented response PDF does not depend on the ground motion intensity levels, therefore, it is termed universal ELS. This kind of consistency in ELS improves the efficiency of seismic fragility analysis. The temporal-average and intensity-augmented GM-ELM can be incorporated either separately or simultaneously. Lastly, to further increase the efficiency of GM-ELM-based fragility analysis, an approximation technique called a simple scaling approach is proposed. It is shown that once the response PDF given a certain ground motion intensity is identified, e.g. by sampling, the intensity-augmented PDF could be easily approximated via a series of elementary calculations. On the other hand, accurate assessment of the first-passage probability is another challenging topic in which the exact solution is unavailable in general linear system responses. In order to evaluate the probability of the first passage failure, the original version of GM-ELM analysis adopted well-known Poisson assumptions, which may give overly conservative estimation in highly narrowband responses. To overcome this inaccuracy, an alternative equation is first proposed to gain more consistent accuracy over various spectral shapes and bandwidths. The new formulation is derived by modeling the crossing events as a Poisson branching process (PBP) while the branching probability is derived by identifying the joint distribution of neighboring extrema values. Finally, the proposed PBP-based first-passage probability equation is further modified to facilitate its implementations to GM-ELM. To this aim, a modification factor that can account for the bandwidth of the nonlinear response and the arbitrarily PDF shape of its envelope process is proposed for GM-ELM. The proposed approach allows us to accurately estimate the first-passage probability of the responses of nonlinear systems. The proposed methods are demonstrated by numerical examples of earthquake engineering applications. The encouraging results obtained for various nonlinear multi-degree-of-freedom systems under nonstationary excitations confirm the merits and potentials of GM-ELM in solving challenging engineering problems that involve nonlinear stochastic dynamic analysis.