Universal m-gonal forms

Abstract

In this thesis, we study the universal $m$-gonal forms.

In the Chapter 3, we study the $\gamma_m$ which is a criterion for universality of a $m$-gonal form, i.e., the representability of every positive integer up to $\gamma_m$ characterize the universality of a $m$-gonal form. We prove the growth of $\gamma_m$ is exactly linear on $m$.

In the Chapter 4, we find the minimal rank $r_m$ for universal $m$-gonal form and provide a concrete $m$-gonal form of the minimal rank for all $m$ sufficiently large.

And the last Chapter, we find the maximal rank $R_m$ for proper universal $m$-gonal form for all $m$ sufficiently large. The proper universal $m$-gonal form is a universal $m$-gonal form for which without its last component the universality is broken.

이 논문에서는 보편 $m$-각수형식에 대해서 공부한다.

3장에서는 이 논문의 주요 결과로써 $m$-각수형식의 보편성을 판별하는 유한집합 $[1,\gamma_m]$에 대해서 공부하고, 점진적으로 증가하는 $\gamma_m$의 증가속도가 $m$에 대해 정확하게 선형임을 증명한다.

4장에서는 충분히 큰 모든 $m$에 대하여 보편 $m$-각수형식을 가질 최소한의 차원 $r_m$ 을 찾고 $r_m$을 차원으로 갖는 보편 $m$-각수 형식 중 특별한 형식을 공부한다.

5장에서는 보편 $m$-각수 에스컬레이터의 최대 차원을 공부한다.