Band Topology of Spacetime-Inversion-Symmetric Systems

Abstract

We study topological phases in systems with spacetime inversion symmetry $I_{\text{ST}}$. $I_{\text{ST}}$ is an anti-unitary symmetry which is local in momentum space and satisfies $I_{\text{ST}}^2=1$ such as $PT$ in 2D and 3D without spin-orbit coupling and $C_{2}T$ in 2D with or without spin-orbit coupling where $P$, $T$, $C_2$ indicate inversion, time-reversal, and two-fold rotation symmetries, respectively. Under $I_{\text{ST}}$, the Hamiltonian and the periodic part of the Bloch wave function can be constrained to be real-valued, which makes the Berry curvature and the Chern number to vanish. In this class of systems, gapped band structures of real wave functions can be topologically distinguished by Stiefel-Whitney numbers instead. The first and second Stiefel-Whitney numbers $w_1$ and $w_2$, respectively, are the corresponding invariants in 1D and 2D, which are equivalent to the quantized Berry phase and the $Z_2$ monopole charge, respectively. We first describe the topological phases characterized by the first Stiefel-Whitney number, including 1D topological insulators with quantized charge polarization, 2D Dirac semimetals, and 3D nodal line semimetals. Next, we show how the second Stiefel-Whitney class characterizes the 3D nodal line semimetals carrying a $Z_{2}$ monopole charge. In particular, we explain how the second Stiefel-Whitney number $w_2$, the $Z_{2}$ monopole charge, and the linking number between nodal lines are related. Then, we study the properties of 2D and 3D topological insulators characterized by the nontrivial second Stiefel Whitney class. After this exposure to our general theory, we explain the reformulated Nielsen-Ninomiya theorem in two dimensions as an interesting application. We derive all these results by assuming only $I_{\text{ST}}$ symmetry. When $P$ or $C_2$ symmetry is present in addition to $I_{\text{ST}}$ symmetry in the absence of spin-orbit coupling, we show that the second Stiefel-Whitney number can be calculated efficiently using the parity eigenvalues of $P$ or $C_2$. The relation between the parity eigenvalues and the second Stiefel-Whitney number is applied to the study of odd-parity topological superconductivity in spin-polarized systems.

이 논문에서는 시공간 반전대칭이 있는 계에서의 위상적인 상에 대해 연구한다. 여기서 시공간 반전 $I_{\text{ST}}$ 은 운동량을 바꾸지 않는 반(anti)유니터리 대칭 연산자이면서 $I_{\text{ST}}^2=1$을 만족시키는 것을 말한다. 이러한 조건을 만족시키는 $I_{\text{ST}}$는 스핀궤도결합이 3차원 물질에서 공간 반전 $P$와 시간 반전 $T$의 조합인 $PT$ 혹은 스핀궤도결합의 유무와 상관없이 2차원 물질에서 수직 축으로 180도 회전 $C_2$ 와 시간 반전 $T$ 의 결합인 $C_2T$가 있다. 시공간 반전 대칭은 운동량 공간 내에서 해밀토니안과 블로흐 파동함수에 실수 조건을 주고, 따라서 베리 곡률과 천 숫자가 항상 0이 된다. 따라 실수 파동함수의 위상적인 성질은 천 숫자 대신에 다른 위상 불변량으로 기술되어야 한다. 우리는 실수 파동함수의 위상적인 성질이 슈티펠-휘트니 숫자라는 위상불변량으로 기술된다는 것을 보여주고, 이 불변량의 일반적인 성질과 물리적인 의미에 대해 설명한다. 제 1 슈티펠-휘트니 숫자와 제 2 슈티펠-휘트니 숫자는 1차원과 2차원 위상 불변량으로 양자화된 베리 위상과 $Z_2$ 홀극 전하에 대응된다. 우리는 먼저 제 1 슈티펠-휘트니 숫자로 설명되는 위상적인 상에 대해서 다룬다. 1차원에서 양자화된 전기 편극을 가지는 부도체, 2차원 디락 준금속과 3차원 마디 선 준금속이 이에 해당된다. 다음으로 제 2 슈티펠-휘트니 숫자가 3차원 마디 선이 $Z_2$ 홀극 전하를 가지는 것을 어떻게 설명할 수 있는 지 얘기한다. 특히 제 2 슈티펠-휘트니 숫자, $Z_2$ 홀극 전하, 그리고 마디 선들의 연결 수 의 관계에 대해서 설명한다. 그 다음 제 2 슈티펠-휘트니 숫자로 설명되는 2차원과 3차원 위상 부도체에 관해서 다룬다. 일반적인 이론에 대한 설명을 마친 다음, 2차원에서 닐슨과 니노미야의 정리의 재정립을 우리 이론의 재미있는 응용으로서 설명한다. 이 모든 이론적인 분석들은 시공간 반전 대칭만을 필요로 한다. 하지만 스핀궤도결합이 없는 경우에 시간 반전 대칭과 공간 반전 대칭이 각각 존재하면 공간 반전 연산자의 고유값을 이용해서 제 2 슈티펠-휘트니 숫자를 간단하게 계산할 수 있다. 이러한 관계와 이미 알려져 있는 결과들을 조합해서 스핀이 정렬되어 있는 계에서 나타나는 홀반전성을 가지는 위상 초전도의 연구에 적용해본다.