Fukaya category for Landau-Ginzburg orbifolds and Berglund-Hübsch conjecture for invertible curve singularities

Abstract

From a fixed cohomology class $\Gamma \in SH^\bullet(M)$ of a Liouville manifold $M$, we construct a new $\AI$ category denoted by $\CG$ on which the quantum cap action of $\Gamma: CW^\bullet(L,L) \to CW^\bullet(L,L)$ vanishes homotopically.

With this construction on one hand, we consider a symplectic Landau - Ginzburg model $(W, G)$ defined by a weighted homogeneous polynomial $W$ and its symmetry group $G$. From wrapped Fukaya category and a monodromy information of the Milnor fiber, we construct a new Fukaya category $\cF(W, G)$ for each pair $(W, G)$ on which the monodromy action vanishes. It is a symplectic analogue of the variation operator in singularity theory.

We also show that the mirror of the monodromy action is a restriction of a mirror Landau-Ginzburg model to a certain hypersurface. As an application, we prove Berglund-H\"ubsch homological mirror symmetry for all invertible curve singularities.

이 논문에서는 리우빌 다양체 $M$의 사교 코호몰로지 군의 원소 $\Gamma \in SH^\bullet(M)$ 가 주어져 있을 때, $\Gamma$ 의 양자 곱 작용 (quatum cap action) $\Gamma: CW^\bullet(L,L) \to CW^\bullet(L,L)$ 이 호모토피적으로 사라지는 새로운 호모토피 결합 범주 ($\AI$-category) $\CG$ 를 건설하고자 한다.

이 새로운 건설법을 바탕으로 하여 가중 동차 다항식 $W$과 그것의 대칭군 $G$ 로 이루어진 사교 란다우-긴즈버그(Landau-Ginzburg) 모델 $(W, G)$ 을 만든다. 밀너 올(MIlnor fiber) 의 감긴 푸카야 범주 (wrapped Fukya category) 와 그것에 작용하는 모노드로미 작용 (monodromy action) 을 사용하여, 모노드로미 작용이 사라지는 새로운 범주 $\cF(W, G)$를 만든다. 이것은 고전적인 특이점 이론의 변분 연산자(variation operator)의 사교기하적 유추로 간주할 수 있다.

이에 더해, 모노드로미 작용의 거울 현상이 거울 란다우-긴즈버그 모델을 특정한 초곡면에 제한시키는 것임을 보인다. 그것의 응용으로, 모든 가역 곡선 특이점에 대해 버글룬드-흅스 추측을 증명한다.