Pricing and hedging short-maturity Asian options in local volatility models

Abstract

This paper discusses the short-maturity behavior of Asian option prices and hedging portfolios. We consider the risk-neutral valuation and the delta value of the Asian option having a H\"older continuous payoff function in a local volatility model. The main idea of this analysis is that the local volatility model can be approximated by a Gaussian process at short maturity $T.$ By combining this approximation argument with Malliavin calculus, we conclude that the short-maturity behaviors of Asian option prices and the delta values are approximately expressed as those of their European counterparts with volatility $$\sigma_{A}(T):=\sqrt{\frac{1}{T^3}\int_0^T\sigma^2(t,S_0)(T-t)^2\,dt}\,,$$ where $\sigma(\cdot,\cdot)$ is the local volatility function and $S_0$ is the initial value of the stock. In addition, we show that the convergence rate of the approximation is determined by the H\"older exponent of the payoff function. Finally, the short-maturity asymptotics of Asian call and put options are discussed from the viewpoint of the large deviation principle.

이 논문에서는 아시안 옵션의 가격과 헷징 포트폴리오의 단기적 행태에 대해 이야기한다. 우리는 지역 변동성 모델 아래, 횔더 연속인 수익함수를 가지는 아시안 옵션의 위험중립적 가격과 델타 가치를 고려한다. 이 논문의 핵심 아이디어는 지역 변동성 모델이 짧은 만기 $T$에서 가우시안 과정으로 근사될 수 있다는 점에 있다. 이 근사 이론과 말리아빈 미적분을 결합하여, 우리는 단기 아시안 옵션의 가격과 델타 가치는 아래 식의 변동성을 가지는 단기 유러피안 옵션의 가격과 델타 가치로 각각 근사됨을 결론 내린다. $$\sigma_{A}(T):=\sqrt{\frac{1}{T^3}\int_0^T\sigma^2(t,S_0)(T-t)^2\,dt}\,,$$ 여기서 $\sigma(\cdot,\cdot)$ 는 지역 변동성 함수를 의미하고 $S_0$ 는 초기 주식 가격을 의미한다. 또한, 우리는 근사값의 수렴비율이 수익함수의 횔더 상수에 의존함을 증명한다. 마지막으로, 큰 편차 이론에 기반하여 단기 콜옵션과 풋옵션의 근사값에 대해서 논의해본다.