작도, 삼각형의 합동과 관련된 2015 개정 교과서 서술 방식의 분석

Abstract

Construction is of sufficient importance in the history of mathematics. However, whenever mathematics curriculum were revised, contents of construction continued to be reduced. One of the reasons can be that contents covered in construction are difficult to find connection with other content elements. Geometry of the first grade in middle school is classified as intuitive geometry, but in this study, it was viewed as a transition from intuitive geometry to demonstrative geometry. Construction is a good learning material to improve students' geometric intuition and logical reasoning ability. Therefore, it can be said that it is an appropriate learning material to deal with in Mathematics 1, which is between intuitive geometry and demonstrative geometry. On the other hand, since geometry domain of middle school Mathematics 1 is already classified as intuitive geometry, we would like to discuss construction guidance from viewpoint of demonstrative geometry. A textbook is a meaningful material that teachers acquires mathematical knowledge base corresponding to content knowledge. Therefore, in order to teach construction from viewpoint of demonstrative geometry, I would like to analyze description of construction and conditions of triangle congruence in the 2015 revised curriculum and textbooks from viewpoint of demonstrative geometry. As a theoretical background for textbook analysis, system of demonstrative geometry and educational meaning of construction were confirmed, and description of construction and conditions of triangle congruence was confirmed in classical textbooks. First, demonstrative geometry is developed in axiomatic method which reasons propositions deductively based on undefined terms, axioms and postulates. Undefined terms, axioms, and postulate are decided through a kind of promise as starting point of argument in order to prevent regression in the process of demonstration. And learning four-steps to find the solution of construction problem in demonstrative geometry education can be used as a stepping stone for deductive reasoning and proof instruction. In classic textbooks of demonstrative geometry, the proof of construction problem is consisted of presentation of construction procedure and justification of construction procedure, and induces learner to do an analytical approach to construction procedure by inquiry. In addition, in case of textbook that construction problem was used as a means of content development, construction was used as a method of verifying the existence of figures. Finally, conditions of triangle congruence was proved mainly through superposition, and it was proved using proof by contradiction or the axiom related to uniqueness. Based on this, the results of the 2015 revised textbook analysis are as follows. First, it is necessary to add axioms to instruct construction problem. Second, most textbooks were attempting an analytical approach to construction problem through problems. Third, all textbooks use construction as a way to prove the existence of figures. This makes it possible to fix the order of construction of triangle and conditions of triangle congruence. Fourth, in some textbooks, when it was justified that triangle was determined as one triangle as a result of construction of triangle through superposition, it was possible to confirm the regression phenomenon in the process of teaching conditions of triangle congruence. Based on this discussion, this study proposes a method for describing construction and conditions of triangle congruence from the viewpoint of demonstrative geometry.

작도는 수학사에서 그 중요성이 충분하다. 그러나 수학과 교육과정이 개정될 때마다 작도는 계속해서 그 내용이 축소되었다. 작도에서 다루는 내용이 다른 내용 요소들의 학습과 연계성을 찾기 어렵다는 점이 하나의 원인이 될 수 있다. 중학교 수학 1의 기하 영역은 직관기하로 분류되지만, 본 연구에서는 직관기하에서 논증기하로 넘어가는 과도기로 보았다. 작도는 학생들의 기하적 직관을 키우고 논리적 추론 능력을 향상시키기에 좋은 학습제재이다. 따라서 직관기하와 논증기하의 사이에 있는 수학 1에서 다루기 적절한 학습제재라고 할 수 있다. 한편 중학교 수학 1의 기하 영역은 이미 직관기하로 분류되어 있으므로 논증기하 관점에서의 작도 지도에 대해 논의하고자 한다. 교과서는 교사가 내용 지식에 해당하는 수학적 지식 기반을 획득하는 하나의 의미 있는 자료이다. 따라서 논증기하의 관점에서 작도를 지도하기 위해 논증기하의 관점에서 우리나라 2015 개정 교육과정 및 교과서의 작도와 삼각형의 합동 조건 서술에 대해 분석하고자 한다. 교과서 분석을 위한 이론적 배경으로 논증기하의 체계와 그 안에서 작도의 교육적 의의를 확인하고, 고전 교과서들에서 작도와 삼각형의 합동 조건의 서술을 확인하였다. 먼저 논증기하는 무정의용어와 공리 및 공준을 바탕으로 명제를 연역적 추론해가는 공리적 방법으로 학문을 전개한다. 이때 무정의용어와 공리 및 공준은 논증의 과정에서 논증이 돌고 도는 현상을 막기 위해 논증의 시작 지점으로 일종의 약속을 통해 정한다. 그리고 논증기하교육에서 작도제의 해를 구하는 4단계의 학습은 연역적 추론 및 증명 교육에 대한 징검다리로 사용될 수 있다. 논증기하의 고전 교과서에서 작도제의 증명은 작도 절차 제시와 작도 절차의 정당화로 구성되어 있었으며, 발문을 통해 학습자가 작도 절차에 대해 분석적 접근을 할 수 있도록 유도하기도 하였다. 또한 작도제를 내용 전개 수단으로 사용하는 경우 작도를 도형의 존재성 입증의 방법으로 사용하고 있었다. 마지막으로 삼각형의 합동 조건은 주로 겹쳐보기를 통해 증명하였는데, 귀류법이나 유일성과 관련된 공리를 사용하여 증명이 진행되었다. 이를 바탕으로 2015 개정 교과서를 분석한 결과는 다음과 같다. 첫째, 작도제를 지도하기 위한 공리의 추가가 필요하다. 둘째, 대부분의 교과서에서 문제를 통해 작도제에 대한 분석적 접근을 시도하고 있었다. 셋째, 모든 교과서에서는 도형의 존재성을 증명하는 방법으로 작도를 사용하고 있다. 이는 삼각형의 작도와 삼각형의 합동 조건의 지도 순서를 고정하게 한다. 넷째, 몇몇의 교과서에서 겹쳐보기를 통해 삼각형의 작도 결과 삼각형이 하나로 결정됨을 정당화했을 때 삼각형의 합동 조건 지도 과정에서 논증이 돌고 도는 현상을 확인할 수 있었다. 이러한 논의를 바탕으로 본 연구에서는 논증기하 관점에서 작도와 삼각형의 합동 조건에 대한 교과서의 서술 방안을 제언한다.