A Mathematical Model for Tensor Aggregation and Emergent Dynamics

Abstract

본 학위 논문에서는 크기가 같은 $m$-차원 텐서들의 군집현상을 다루는 일반적인 모델을 새롭게 제시하였다. 주 목표는 기존에 널리 알려진 쿠라모토 모델, 로헤 구 모델 그리고 로헤 행렬 모델을 하나로 통합하는 것에 있었으며, 이를 로헤 텐서 모델로 통합 할 수 있었다. 텐서의 차원이 $m=0, 1$ 그리고 $2$인 경우의 로헤 텐서 모델이 각각 쿠라모토 모델, 로헤 구 모델, 그리고 로헤 행렬 모델로 내려가는 감을 확인함으로써 제시된 모델이 텐서 위에서의 군집현상을 잘 설명하는 모델임을 확인하였다. 이 모델을 분석하기 위해서 $m=1$인 경우와 $m=2$인 저차원의 경우에 대하여 연구하였다. 첫번째로 $m=1$인 경우에서는 텐서의 차원이 1인 경우로 각 텐서가 복소벡터인 경우에 해당한다. 이 경우 각 성분이 복소수인 단위 벡터들의 군집현상 모델인 로헤 에르미트 구 모델을 얻을 수 있었다. 기존의 로헤 구 모델은 실수 벡터들의 군집현상에 대해서 다루던 것에 비해 복소수 벡터들의 군집현상에 대한 새로운 모델을 제시했다는 점에 의의가 있다. 기존의 로헤 구 모델에서 성립하는 교차비 보존에 해당하는 정리 역시 확장 가능했다. 두번째로 $m=2$인 경우에서는 텐서의 차원이 2인 경우로 각 성분이 복소수인 크기가 같은 행렬들의 군집현상 모델인 확장된 로헤 행렬 모델을 얻을 수 있었다. 원래 로헤 행렬 모델은 정사각행렬인 유니터리 행렬에 대한 군집현상 모델만 있었지만 새로운 모델에서는 일반적인 크기의 행렬의 군집현상 모델을 제시할 수 있다. 로헤텐서 모델과 슈뢰딩거-로헤 모델 사이의 관계도 소개하였다. 슈뢰딩거-로헤 모델은 양자들의 군집현상을 기술하는 모델인데, 본 학위 논문에서 제시한 로헤 에르미트 구 모델과 밀접한 관련이 있다. 슈뢰딩거-로헤 모델에서 적절한 기저함수들을 잡으면 그 기저함수들의 계수들이 로헤 에르미트 구 모델을 따른다는 것을 알 수 있었다. 본 관련성을 이용하여 슈뢰딩거 모델이 로헤 에르미트 구 모델과 결합하여 슈뢰딩거-로헤 모델이 되는 것을 알아내었고, 이 방법을 응용하여 슈뢰딩거 모델과 로헤 텐서 모델과 결합하는 방법까지 확장하여 슈뢰딩거-로헤 텐서 모델을 이끌어내었다.

We present a generalized aggregation model on the space of rank-$m$ tensors with the same size, and study emergent dynamics from scalar, vector, and matrix aggregation models. Our generalized model encompass Lohe type models such as the Kuramoto model, the Lohe sphere model and the Lohe matrix models for the ensemble of real rank-0, rank-1 and complex rank-2 tensors, respectively. In this regard, we call our proposed model as the Lohe tensor model for rank-$m$ tensors with the same size. In this thesis, we present the emergent behaviors of the Lohe tensor model. We begin with the results of the whole Lohe tensor model. After that, we provide the results of the low-dimensional Lohe tensor model. We study rank-1 and rank-2 system as low-dimensional Lohe tensor models. For rank-1 case, we study emergent behaviors of the Lohe Hermitian sphere model which is an aggregation model on the Hermitian sphere embedded in ${\mathbb C}^d$. For rank-2 case, we call such matrix-valued aggregation model as the generalized Lohe matrix model. Originally, the Lohe matrix model was defined on the unitary group, however, the generalized Lohe matrix model is a synchronization model defined on complex-valued matrix of any size.

The Lohe hierarchy is a hierarchy of finite-dimensional aggregation models consisting of the Kuramoto model, the LHS model, the Lohe matrix model and the Lohe tensor model. In contrast, the Schr\"{o}dinger-Lohe model is the only known infinite-dimensional Lohe aggregation model in the literature. We provide an explicit connection between the Schr\"{o}dinger-Lohe model and the complex Lohe sphere model, and then by exploiting this explicit relation, we construct infinite-dimensional liftings of the Lohe matrix and the Lohe tensor models. In this way, we establish the Schr\"{o}dinger-Lohe hierarchy which corresponds to the infinite-dimensional extensions of the Lohe hierarchy. For the proposed hierarchy, we provide sufficient frameworks leading to the complete aggregation in terms of coupling strengths and initial configurations.