Orbit harmonics and cyclic sieving phenomena

Abstract

Orbit harmonics is a tool in combinatorial representation theory which promotes the (ungraded) action of a linear group $G$ on a finite set $X$ to a graded action of $G$ on a polynomial ring quotient by viewing $X$ as a $G$-stable point locus in a complex space $\CC^n$.

The cyclic sieving phenomenon is a notion in enumerative combinatorics which encapsulates the fixed-point structure of the action of a finite cyclic group $C$ on a finite set $X$ in terms of root-of-unity evaluations of an auxiliary polynomial $X(q)$.

In this thesis, we apply orbit harmonics to prove a variety of cyclic sieving results. This includes cyclic sieving results involving enumerations of combinatorial objects such as words, graphs or matrices, and symmetric functions such as Hall--Littlewood polynomials or Macdonald polynomials.

궤도 조화 이론은 유한집합 $X$에 대한 선형군 $G$가 작용할 때, $X$를 복소공간 $\CC^n$안의 $G$-안정한 점 자취로 이해함으로써 $X$에 대한 $G$의 작용을 등급환 구조를 갖는 다항식환으로 이해할 수 있게 해주는 조합적 표현론 분야의 도구이다.

순환체현상은 유한 순환 군 $C$가 유한집합 $X$에 작용할 때 고정점에 대한 정보를 특정 다항식의 단위근에서의 값을 통해 알아낼 수 있는 현상에 관한 세는 조합론 분야의 주제이다.

본 학위논문에서는 궤도 조화 이론을 적용하여 다양한 순환체 현상을 증명하는 방법을 다룬다. 특히, 조합적인 대상인 단어, 그래프, 행렬의 개수와 관련한 , 다른 한 편으로는 홀-리틀우드 다항식이나 맥도날드 다항식과 같은 대칭함수 이론의 중요한 예시들과 관련한 순환체현상을 제시한다.