Strategies for High-Fidelity Pin-Homogenized Two-Step Core Calculation Based on Systematic Error Analysis and Leakage Correction

Abstract

집합체 단위 소수군정수를 이용하는 전통적인 2단계 노심 계산 방법은 상용 노심 핵설계에 널리 사용되어 왔다. 해당 방법은 계산 자원 소요가 극히 적은 장점이 있으나, 집합체 단위 소수군정수가 실제 노심 환경을 정확히 반영하기 어려우므로 비균질성이 높은 노심에서 반응도 및 출력 분포에 상당한 오차를 보인다. 이에 선행 연구에서 Yoon은 봉단위 다군 군정수를 채택하고 봉단위 균질화 및 확산법 기반 소격 격자 유한차분(FDM) 계산의 오차를 SPH인자로 보정하여 계산 정확도를 성공적으로 향상시켰다. 한편 Cho는 단순화된 P3 (SP3) 이론 기반의 FDM 해법을 도입함으로써 봉단위 SP3 노심 계산의 가능성을 보였다.

선행연구에 사용된 확산법 및 SP3 이론 기반 FDM 해법은 일반적 노심 문제에 대해서는 계산 정확도가 높으나, 비균질성이 높은 3.5세대 상용 노심 및 혼합산화물(MOX) 연료가 장전된 소형 노심 등에서는 오차가 현저하다. 이에 본 연구에서는 봉단위 다군 노심 계산에서의 주요 오차 요인을 체계적으로 분석함으로써 최적의 중성자속 해법을 선정하고, 봉단위 다군 군정수에 누설 보정을 적용함으로써 고신뢰도 2단계 봉단위 노심 계산을 실현하는 것을 목표로 설정하였다.

본 연구에서는 우선 봉단위 균질화 된 군정수를 단일 집합체 기반 SPH인자와 함께 노심 계산에 사용함으로 인한 오차를 다양한 노심 벤치마크 문제를 활용하여 분석하였다. 이는 봉단위 2단계 계산에서 SPH인자가 필수적임을 확인하고, 적절한 저차 수송 근사와 공간 차분 방법을 적용하면 단일 집합체 기반 SPH인자를 노심에 사용함에 기인하는 오차가 감소함을 보이기 위함이다. 이로써 첫째, 핀셀 내부 구조 정보의 손실로 인한 반응률 오차, 즉 균질화 오차가 전체 군정수 오차 가운데 영향이 가장 크며 이는 SPH인자로 보정 가능함을 확인하였다. 다음으로 단순화된 PN (SPN) 및 SN 수송 근사 방법을 다양한 공간 차분 방법과 조합한 중성자속 해법을 시험하였다. 이로써 확산법 기반 계산 결과의 양호한 겉보기 오차는 현저한 오차 상쇄에서 비롯된 것이며, SP5 계산 결과는 SP3 결과와 유의미한 차이가 없고, SN 계산 결과는 단일 집합체 기반 SPH인자가 고 에너지 영역에서 노심 환경을 적절히 반영하지 못하여 오차가 극심함을 확인하였다. 이에 따라 본 연구에서는 SP3 이론 기반 선원확장노달법(SENM)을 최적의 해법으로 선정했다. 비균질성이 현저한 KAIST 1A ARO 문제에 대한 8군 계산에서, 단일 집합체 기반 SPH인자로 인한 봉출력 최대 오차는 SP3 SENM이 1.1%로, 확산법 및 SP3 이론 기반 FDM 계산의 4.6%, 8.5%에 비해 현저히 낮았다.

또한 단일 집합체 기반 봉단위 다군 군정수의 스펙트럴 오차에 대해서도 분석을 수행하였다. 스펙트럴 오차는 봉단위 군정수 생산 시의 집합체 경계 조건이 실제 노심 환경과 불일치함에서 기인하는 경계조건 오차와, 군축약에 사용된 중성자 스펙트럼과 실제 노심 스펙트럼의 차이로 인한 군축약 오차에 기인한다. 에너지군 수에 따른 민감도 검사 결과 약 8개 에너지군을 사용하면 스펙트럼 오차에 의한 봉출력 오차의 제곱 평균을 1.0% 미만으로 억제 가능하다. 그러나 대단히 비균질한 노심에서는 8군 이상을 사용해도 봉출력 최대 오차가 현저하여 봉단위 누설 궤환 보정법(LFM)의 도입이 결정됐다. LFM은 군정수를 누설 인자에 대해 함수화 하는 방법으로, 스펙트럴 오차가 누설 효과에 기인함을 근거로 한다.

SP3 SENM 해법의 정확도와 봉단위 LFM의 적용성은 단일 집합체 기반 봉단위 군정수와 SPH인자를 사용한 2단계 노심 계산으로 검증하였다. nTRACER 직접 전노심 계산 결과를 참조해로 활용했으며, 동일 코드를 군정수 생산에 사용함으로써 코드 간 비교의 일관성을 유지했다. 확산법 및 SP3 기반 소격 격자 FDM 계산에 SPHINCS 코드를, SENM 계산에 VANGARD 코드를 사용했다. SP3 SENM 계산 결과는 참조해와 잘 일치했으며 LFM을 적용함으로써 정확도가 더 향상되었다. KAIST 1A ARO 문제에서, 확산법 및 SP3 기반 FDM 계산은 8군 군정수를 사용하여도 각각 48, 74 pcm의 반응도 오차와 11.4%, 14.8%의 봉출력 최대 오차를 보인 반면, SP3 SENM의 오차는 74 pcm, 7.3%로, LFM을 적용하면 이는 9 pcm, 1.1%로 감소했다. 반면 FDM 해법은 그 정확도가 낮기 때문에 LFM 적용에 따른 오차 감소가 상대적으로 적었다. 한편 3.5세대 상용 노심인 AP1000 PWR 문제를 이용, 3차원 고온전출력 노심 연소 등의 다양한 조건에서 LFM의 적용성을 입증했다. SP3 SENM 해법과 LFM의 실용성도 확인했는데, 제어봉이 부분 삽입된 고온영출력 3차원 노심에 대하여 20개 CPU 코어로 8군 계산을 수행하면 반경 방향 봉출력 최대 오차와 총 계산 시간은 확산법 기반 FDM이 1.7%, 66초인 데 비해 SP3 SENM은 LFM 적용 전 1.8%, 120초, 적용 후 0.7%, 159초로, 정확한 노심 계산에 소요되는 자원은 과도하지 않다. 아울러 SP3 SENM 해법의 계산 시간과 관련, VANGARD 코드에 대한 선행연구에서는 노달 계산의 병렬화가 용이함에 착안하여 상용 GPU 기반 가속으로 약 20배 이상의 속도향상을 달성한 바 있음을 주지할 필요가 있다.

본 연구를 통해 SP3 SENM 해법과 봉단위 LFM을 적용함으로써 단일 집합체 기반으로 생산된 봉단위 군정수와 SPH인자를 이용하더라도 전노심 직접 계산 참조해를 정확히 재생산할 수 있음을 확인했다. 최적의 중성자속 해법과 누설 보정에 기반한 2단계 노심 계산은, 오차 상쇄에 의존하지 않음으로써 노심의 비균질성이 높더라도 정확한 해를 생산할 수 있다는 점에서 선행 연구와 차별화되는 가치가 있다. 이러한 성과는 VANGARD 코드 개발에 충실히 반영되어 고신뢰도 노심 계산 능력의 바탕이 되었다. 또한 신형 노심 설계 및 안전 규제 강화 등으로 인해 고신뢰도 2단계 노심 계산에 대한 수요가 증가하고 있는 바, 본 연구는 봉단위 코드 사용자 및 개발자들을 위한 참고자료가 될 것이다.

The conventional two-step core calculation (TSCC) procedure employing the assembly-homogenized few group constants (GCs) has been widely used for commercial core design and analysis. Remarkably low computing cost is its undeniable advantage, but it is hard to incorporate actual core environment in the assemblywise few group cross sections (XSs) so that nontrivial errors in reactivity and power distributions are observed for highly heterogeneous core problems. In order to improve the accuracy with manageable computing cost, Yoon employed the multigroup (MG) pin-homogenized XSs (PHXSs) and the superhomogenization (SPH) factors to capture the errors which originate from the pin-cell homogenization and the coarse mesh (CM) finite difference method (FDM) solver combined with the diffusion theory. Following this, Cho combined the simplified P3 (SP3) theory with the FDM solver and demonstrated feasibility of the pinwise SP3 core calculation.

The diffusion and SP3 FDM solvers employed for the previous studies yielded satisfactory results for typical cores. However, notable increase of the errors was observed for specific cores, such as the GEN-III+ reactor cores and small cores loaded with mixed oxide (MOX) fuels. For this reason, the work aims to facilitate the high-fidelity pinwise TSCC by employing the optimal solution method through systematic analysis of the errors involved in the pin-homogenized MG calculation (PHMGC), and by applying a leakage correction to MG PHXSs.

The errors due to the use of PHXSs with the SPH factors based on single assembly (SA) configuration are investigated first for various core benchmark problems. It is to clarify the need for the SPH factors in TSCC and to reveal that the optimal solution method, which is a proper lower order approximation of the neutron transport equation (NTE) combined with an elaborated spatial discretization method, can effectively mitigate inconsistency of the SA based SPH factors in the core. It firstly reveals that the reaction rate error due to the loss of pin-cell internal geometry, namely the spatial homogenization error, predominates the errors of the PHXSs, and it can be captured by the SPH factors. After that, the solution methods that are the simplified PN (SPN) and the discrete ordinate (SN) method solvers with different degrees of the spatial discretization are examined. The results turn out that the diffusion calculations involve significant error cancellation which would result in seemingly good results; the SP5 is not any better than SP3; and SN yields intolerable errors due to the inconsistency of SA based SPH factors especially noted in the fast energy range. Based on the results, the source expansion nodal method (SENM) solver of the SP3 equation is selected as the optimal. For the KAIST 1A ARO core with sever local heterogeneity, the maximum (MAX) pin power error (ΔP) due to the SA based SPH factors are only about 1.1% for the 8G SP3 SENM. It is far smaller than 4.6% and 8.5% errors of the 8G CM diffusion and SP3 FDM.

The spectral error of the SA based MG PHXSs is then analyzed. It originates from the boundary spectral error due to the use of inconsistent boundary condition for the pin-cell homogenization and the group condensation error. The sensitivity analysis on the number of groups reveals that about 8 energy groups are required at least to reduce the root-mean-square (RMS) of the resulting pin ΔP less than 1.0%. However, the MAX pin ΔP can be still significant if the core is highly heterogeneous so that employment of the pinwise Leakage Feedback Method (LFM) is determined. The pinwise LFM functionalizes the PHXSs on leakage parameters in that the spectral error is determined by the leakage between neighboring nodes.

Accuracy of the SP3 SENM and applicability the pinwise LFM are validated by TSCCs following the general procedure, with the PHXSs and the SPH factors based on SA configurations. The results are compared with reference solutions obtained from the nTRACER direct whole core calculation (DWCC). The code is also employed for the PHXS generations for the consistent code-to-code comparisons. The CM diffusion and SP3 FDM results are yielded by SPHINCS, while the SENM results are yielded by VANGARD. The SP3 SENM results agree well with the reference and those are remarkably improved by the pinwise LFM. In case of the KAIST 1A ARO core, for example, the reactivity (Δρ) and MAX pin ΔP errors of the diffusion and SP3 FDM are about 48 pcm and 11.4% and 74 pcm and 14.8% even with the 8G PHXSs. However, the errors of the SP3 SENM are 74 pcm and 7.3% and those are dropped to 9 pcm and 1.1% with the LFM. It is also noted that the error reductions are relatively smaller with the FDM solvers due to their inaccuracy. In case of the AP1000 PWR representing the GEN-III+ reactor cores, on the other hand, applicability of the LFM for various core states is also validated by the calculations up to the 3D hot-full-power core depletion, and practicality of the SP3 SENM with LFM is estimated. For the partially rodded three-dimensional (3D) hot-zero-power core, the MAX 2D pin ΔP, and the computing times of the 8G calculations with 20 CPU cores are 1.7% and 66 seconds (s) for the diffusion FDM, 1.8% and 120 s for the SP3 SENM, and 0.7% and 159 s for the SP3 SENM plus LFM. The results show that the accurate core calculations require not too demanding cost. For the computing time, it should be noted that a previous study with VANGARD demonstrated more than 20 times speedup of the SP3 SENM by the acceleration with a consumer grade GPU, due to inherent parallelism of the nodal kernel.

Through the study, it is shown that the SP3 SENM solver with the pinwise LFM can accurately reproduce the heterogeneous reference, even though the SA based PHXSs and the SPH factors are used. The value of this work is that the TSCC results are not depending on the error cancellation so that the accuracy is less affected by the core heterogeneity, compared to the previous studies. The outcomes of the study are fully reflected to VANGARD so that the code is capable to perform the high-fidelity TSCC. Considering that the high-fidelity TSCC is getting more required due to advanced core designs and enforced safety regulations, this work can also provide a guideline for users and developers of the advanced TSCC codes.