Development of exact solution and finite volume method of porous shallow water equations for the analysis of urban flooding

Abstract

Porous shallow water equations have been reported as one of the most promising coarse-grid models for urban flood modeling, which show a good balance between cost and accuracy. However, the mathematical natures of porous shallow water equations make it highly challenging to implement the numerical solver that accurately captures the solution of porous shallow water equations. Indeed, the nonlinearity and non-strictly hyperbolicity cause discontinuity and non-uniqueness problems in the solution of porous shallow water equations, respectively. Furthermore, the presence of non-conservative products makes it difficult to integrate the porous shallow water equations near the discontinuities in porosity and bottom topography. To overcome such issues, previous studies have imposed additional assumptions on numerical approximation, which result in failure to accurately resolve the solution structure if there is a strong discontinuity in geometry (porosity and bottom topography). Therefore, the present study developed a finite volume method that can accurately capture all types of solution structures of porous shallow water equations, which was accomplished with three steps. Firstly, the Riemann problem of one-dimensional porous shallow water equations with discontinuous porosity and bottom topography was considered. Extending the pertinent studies on Riemann problems of shallow water equations with discontinuous bed or width, elementary waves associated to characteristic fields of porous shallow water equations were formulated. In particular, the stationary wave which satisfies mass and energy conservation was utilized for contact discontinuity of geometry. The existence of the stationary wave was investigated, and a group of regularized geometric functions that guarantee the uniqueness of the stationary wave were proposed. Based on the L-M/R-M curve theory introduced by Han et al. (2012), the exact solver for solving the Riemann problem of porous shallow water equations was implemented. All the admissible solution structures (10 wet cases and 7 dry cases) were identified through intensive investigation on the exact solver. It was confirmed that the exact solution of the Riemann problem of porous shallow water equations always exists and is unique or triple. Secondly, the finite volume method for solving one-dimensional porous shallow water equations was constructed, which was based on the path-conservative method to treat the non-conservative source terms. Well-balanced WENO reconstruction was formulated to achieve high-order accuracy and exact C-property. The positivity-preserving property was reflected to prevent water depth from becoming negative during simulation. Stationary wave reconstruction was formulated to reflect the structure of the exact solver. Extensive numerical tests were performed to verify the well-balancedness, accuracy, stability, convergency, and shock-capturing ability of the present numerical scheme, which shows good agreements. From the comparative study, it was demonstrated that the present scheme is superior to the previous works. Lastly, the one-dimensional finite volume solver was extended to two dimensions. Under the regularization sense, it was proven that the solution of the porous shallow water equations is consistent with that of the shallow water equations with slip-wall boundary. To verify such consistency, the high-order immersed boundary method was implemented and coupled with the shallow water equations solver. From the grid convergence tests, it was numerically shown that the numerical solutions of the porous shallow water equations solver eventually converge to that of shallow water equations solver with the immersed boundary. However, when the mesh was too coarse to resolve the building layouts, the numerical results between the two solvers were different. Therefore, the porous shallow water equations can be a good alternative to shallow water equations with wall-boundary conditions for urban inundation modeling only if the porosity map represents the geometrical condition well.

다공성 천수방정식은 천수흐름에 대한 고체 구조물의 영향을 다공도의 개념을 통해 반영하여, 성긴 격자계에서도 유체-구조물의 상호작용 모의가 가능하도록 설계된 모형이다. 다공성 천수방정식은 도시침수 상황에 대한 예측의 정확도와 신속성을 적절히 타협한 모형으로 보고됨에 따라 지난 20여년간 수학적 기초부터 공학적 응용까지 많은 연구가 이루어져왔다. 그러나, 다공성 천수방정식은 비선형성에 의한 불연속의 문제와 비엄밀 쌍곡선계의 특성으로 인한 다수해의 문제가 동시에 존재하여 정확한 해석에 어려움이 있었다. 또한, 비보존성 생성/소멸항에 다공도와 하상높이에 관한 일차미분항이 존재하여 지형(다공도와 하상)에 불연속이 있는 경우, 그 근방에서의 적분 불가능성으로 인해 유한체적법에 기반한 리만해법의 구축이 상당히 난해했다. 기존의 연구들은 인위적인 가정들을 통해 이러한 어려움을 극복하였으나, 이러한 가정으로 인하여 수치해가 정해의 구조를 반영하지 못하는 결과를 초래했다. 수치 실험의 결과 기존의 기법들은 지형의 불연속의 크기가 작은 경우에만 정확한 예측을 보였으며, 반대로 지형의 불연속이 큰 경우 수치해가 정해로 수렴을 하지 못하는 결과가 나타났다. 이러한 문제들을 극복하기 위하여 본 연구는 다공성 천수방정식의 정해를 분석하였고, 그 정해로 정확하게 수렴하는 유한체적법을 구축하였으며, 본 연구에서 개발된 다공성 천수방정식의 수치기법이 도시 침수에 빈번히 나타나는 유체-구조물의 상호작용 문제에 있어서 세밀한 격자계에서 벽경계조건을 부여한 천수방정식 모형의 대안이 될 수 있음을 수학적/수치적으로 보였다. 첫째로, 1차원 다공성 천수방정식의 리만문제에 대한 연구를 수행하였다. 기존의 연구에서는 다공도나 하상 높이 중 어느 하나에 대한 지형의 불연속만을 고려하여 리만문제 연구를 수행하였는데, 이에 기반하여 다공도와 하상높이를 동시에 고려하는 본 연구의 문제로 확장하였다. 우선 쌍곡선계의 고유공간마다 전파되는 요소파들을 정리하였다. 특히, 지형의 불연속을 처리하는 정상파(stationary wave)를 유도하고 존재성을 증명하였으며, 유일성을 위한 지형함수군을 유도하여 제시하였다. 이렇게 유도된 요소파를 바탕으로 Han et al. (2012)이 제시한 L-M/R-M 커브이론을 확장하여, 다공성 천수방정식의 정해법을 구축하였다. 구축된 정해법을 통해 다공성 천수방정식의 리만문제가 갖을 수 있는 모든 정해를 정리 및 분석하여, 10 종류의 젖음 케이스와 7종류의 마름 케이스로 구분되는 총 17종류의 정해의 구조를 확인하였다. 또한, 17종의 정해를 모두 확인할 수 있는 리만문제에 대한 13개의 대표 예제를 제시하고, 해석해를 유도하였으며 이를 통해 다공성 천수방정식 리만문제의 해는 항상 존재하며 유일해나 삼중해로 나타남을 보였다. 둘째로, 유한체적법에 기반하여 1차원 다공성 천수방정식의 근사 리만 해법을 구축하였다. 경로-보존성(path-conservative) 유한체적법을 유도하여 비보존성 생성/소멸항을 처리할 수 있는 차분방정식을 구축하였고, 여기에 정상파 재구축의 단계를 도입하여 정해의 구조가 반영될 수 있도록 하였다. 생성/소멸항과 플럭스항간 불균형화로 인한 수치오염을 줄이기 위해 잘 균형화된 기법(well-balanced scheme)을 구축하였고, 이와 더불어 WENO 기법과 연계하여 수치해의 정확도를 고도화하였다. 수치 계산 중 음수심의 발생으로 인해 수치모의가 불안정해지는 문제를 해결하기 위해 수심의 양성-보존성(positivity-preserving property)를 만족하는 CFL 조건을 유도하여 제시하였고, 제한자(limiter)를 도입하여 마름 혹은 거의 마름문제에서도 양성보존성을 만족할 수 있도록 하였다. 구축된 수치 기법은 천수방정식에 대한 벤치마크테스트를 통해 검증하여, 수치모의의 정확도, 수렴성, 안정성 측면에서 기존의 기법들보다 우수한 성능을 보임을 확인하였다. 또한, 앞서 제시한 다공성 천수방정식의 리만문제에 대한 13개의 대표 예제에 대해 수치 모의를 수행하여 정해와 비교한 결과 좋은 일치성을 보였으며, 다공성 천수방정식에 대한 대표적인 선행기법들과 비교하여 본 연구의 기법만이 모든 대표 예제에서 정확한 결과를 보여줌을 수치적으로 증명하였다. 지형의 불연속의 크기가 커질수록 선행기법들은 정해로부터 크게 벗어나는 결과를 보였으나, 본 연구의 수치기법은 지형 불연속의 크기에 상관없이 정해와 좋은 일치성을 보여주었다. 마지막으로, 앞서 구축한 1차원 다공성 천수방정식의 수치기법을 2차원으로 확장하였다. 우선, 2차원 유체-구조물의 상호작용 문제에 있어서 다공도 천수방정식의 해가 벽경계조건을 부여한 천수방정식의 해와 수학적으로 상응함을 증명하였고, 두 모형 간 수렴구조가 나타나는지 수치적으로 검증하였다. 이를 위하여 고차 정확도로 잠입경계법을 구축하여 벽경계조건 모듈을 본 모형에 도입하였고, 구축된 모형은 2차원 벤치마크실험들을 통해 균형도, 정확성, 안정성 등을 검증하였다. 천수방정식과 잠입경계법이 연계된 모형(SWE+IBM)은 고차 정확도 벽경계조건을 위한 고스트 셀(ghost cell)이 확보될 수 있을 정도로 충분히 세밀한 격자계에서 해석되었고, 이를 통해 기준해(reference solution)를 산출하였다. 그리고, 다공성 천수방정식 모형(PSWE)은 아주 성긴 격자계부터 SWE+IBM에 사용된 세밀한 격자계까지 격자수렴실험을 수행하였다. 두 모형의 근본적인 비교를 위해 모든 수치실험에서 매개변수추정이 필요한 모든 생성/소멸항은 무시하였다. 수치실험 결과 격자가 수렴함에 따라 PSWE해가 SWE+IBM의 해로 수렴함을 확인할 수 있었다. 하지만, 격자가 너무 성겨서 다공도 맵(porosity map)이 지형의 특성을 충분히 반영하지 못하는 경우 PSWE해는 기준해로부터 큰 차이를 보였다. 따라서, 다공도의 분포가 지형 조건을 충분히 반영할 수 있는 규모의 격자계를 구성할 경우 다공성 천수방정식 모형은 도시 침수 모의에서 벽경계조건과 연계된 천수모형의 좋은 대안이 될 수 있음을 확인하였다.