수학 학습에서의 다이어그램에 관한 연구

Abstract

The process of learning mathematics involves a type of diagram as a visual representation. Many researchers have long studied the role and importance of diagrams as signs contributing to mathematics learning, with several different focuses. Accordingly, theoretical perspectives explaining and interpreting the relationship between diagrams and mathematics learning have become increasingly diversified. For this diversity of perspectives to serve as abundant resources for research and practical progress in the field of mathematics education, a meta-approach that considers the interrelationships between perspectives is required, but such studies are scarce. This study attempts to distinguish between three perspectives on diagrams as signs by examining the theoretical literature on the relationship between diagrams and mathematics learning based on semiotics. Then, through a review of the empirical studies from each perspective, the distinguished perspectives are compared, and the possibility of a connection between the perspectives is explored. Finally, partial networking between perspectives is attempted by applying multiple perspectives to the analysis of geometry-class episodes, and the theoretical and practical implications are presented. A review of the theoretical literature that reinterprets diagrammatic reasoning in semiotics in relation to mathematics learning showed that researchers focused on the following three aspects when considering the epistemological potential of diagrams as signs: structural objects that can be constructed and transformed according to the systematic rules of operation, empirical objects included in the context of practical semiotic activity, and material and sensory objects that enable perceptual observation and experimentation. Based on these three aspects, a framework that divides the perspectives on diagrams into three categories of structure-based, context-based, and material-based perspectives was proposed: the structure-based perspective describes the relationship between diagrams and mathematics based on the structure of the diagram and the system of conventional rules for constructing and transforming it. The context-based perspective views the relationship between diagrams and mathematics as dynamically changing according to the context of the mathematical activities in which diagrams are utilized. The material-based perspective views that the potential of new mathematical meaning construction is inherent in diagrams themselves as material-sensory objects. For the networking of the perspectives, the specific characteristics of each perspective were made understandable through the analysis of previous studies, their differences were compared, and their possible connections were discussed based on the comparison. The analysis of the practical studies identified as taking each perspective clarified the following characteristics of each perspective: (1) epistemological background, (2) primary focus in analysis, (3) conceptualization of mathematics learning, (4) role of diagrams in mathematics learning, and (5) role of teachers in relation to diagrams. By synthesizing these analyses, a framework for comparing the differences in the ways of characterizing the three perspectives was derived. Based on this framework, the possible connections between the perspectives were discussed according to the similarities and differences in the focus of the analysis from each perspective. Specifically, we developed a way to network the following two combinations of perspectives and apply them to the analysis of classroom episodes: a combination of structure-based and context-based perspectives and a combination of context-based and material-based perspectives. The results of applying the two combinations of networking to the analysis of classroom episodes are as follows. First, the results of the analysis applying the structure-based and context-based perspectives to the same classroom episode significantly differed. However, by dialectically combining and interpreting the results, it was possible to seek a complementary understanding of the multifaceted phenomena of mathematics learning through diagrams as pedagogical artifacts. Second, the analysis of a classroom episode using a new analytical framework derived by coordinating the context-based and material-based perspectives captured a new aspect of the phenomenon called epistemological distance, which dynamically changes in the students diagramming process. Because this aspect is difficult to capture with the analytical framework from each perspective, we deepened our understanding of the phenomenon by networking between perspectives. By exploring related literature, this study proposes a framework that divides the perspective on diagrams into the following three categories: structure-based, context-based, and material-based. Such a framework is meaningful in that it enables a multi-faceted consideration of the role and importance of diagrams observed in mathematics teaching and learning. Furthermore, this study sought a way to establish a productive connection between these three perspectives. Partial networking was conducted as a preliminary attempt for an integrated and systematic synthesis between perspectives. Through this work, it was possible not only to recognize the multidimensional characteristics of a phenomenon as complementary, but also to reveal new aspects of the phenomenon. However, this study is limited in that it cannot cover all possible perspectives because the classification of perspectives was derived through a review of the limited literature. Accordingly, follow-up studies that supplement and expand the framework presented in this study will be needed. Moreover, further research is needed on whether other combinations of perspectives or networking at a more integrative level are possible.

수학 학습 현상에는 어떤 방식으로든 시각적인 표현으로서의 다이어그램이 포함된다. 오랫동안 많은 수학교육 연구자들이 수학 학습에 기여하는 기호로서의 다이어그램의 역할 및 중요성에 관하여 다양한 초점 아래에서 연구해왔다. 이에 따라 다이어그램과 수학 학습 사이의 관계를 바라보고 설명하는 관점은 점차 다양하게 분화되어 왔다. 이러한 관점의 다양성을 수학교육 연구와 실제의 진보를 위한 풍부한 자원으로서 활용하기 위해서는 그들 사이의 상호적인 관련성을 고려하는 메타적인 접근이 필요하지만 관련 연구는 많지 않다. 이와 같은 맥락에서 본 연구에서는 다이어그램과 수학 학습 사이의 관계에 관하여 다룬 문헌들에 대한 고찰을 통해 기호로서의 다이어그램을 바라보는 서로 다른 관점 사이의 구분을 시도한다. 이러한 구분을 바탕으로 각 관점에서의 연구들의 기저에 있는 인식론적인 배경 및 다이어그램과 수학 학습 사이의 관계에 관하여 설명하는 방식 상에서의 차이를 살펴본다. 마지막으로 기하 수업 사례에 대한 분석에 다중적인 관점을 적용하는 네트워킹 전략을 통하여 관점들 사이의 부분적인 연결을 시도하고 그 함의를 제시한다. 본 연구에서는 기호학에서의 다이어그램적 추론 개념을 수학교육적으로 재해석한 이론적인 문헌들에 대한 고찰을 통해 기호로서의 다이어그램의 인식론적인 잠재성과 관련하여 주요하게 고려되는 세 가지 측면을 다음과 같이 도출하였다. 첫째, 다이어그램은 관습적인 조작 규칙에 따라 구성 및 변형 가능한 구조적인 대상으로서의 측면을 갖는다. 둘째, 다이어그램은 실천적인 기호적 활동 과정의 맥락에 포함된 경험적인 대상으로서의 측면을 갖는다. 셋째, 다이어그램은 지각적인 실험을 가능하게 하는 물질-감각적인 대상 자체로서의 측면을 갖는다. 본 연구에서는 이러한 세 가지 측면을 기준으로 기호로서의 다이어그램을 바라보는 서로 다른 관점을 구조-기반 관점, 맥락-기반 관점, 물질-기반 관점 등의 세 가지로 구분하는 틀을 제안하였다. 구조-기반 관점은 다이어그램의 구조와 그것을 구성 및 변형하는 관습적인 규칙 체계에 기반을 두고 다이어그램과 수학 사이의 관계를 설명하는 관점이다. 맥락-기반 관점은 수학 학습 과정에서 다이어그램이 실제적으로 동원되는 실천적인 활동의 맥락에 따라 다이어그램과 수학 사이의 관계가 역동적으로 변화한다고 보는 관점이다. 물질-기반 관점은 물질-감각적인 대상으로서의 다이어그램 자체에 새로운 수학적인 의미 생산의 잠재성이 내재되어 있다는 입장을 취하는 관점이다. 이어서 본 연구에서는 구분 된 관점들 사이의 네트워킹을 위하여 각각의 관점을 따르고 있는 것으로 구분되는 실제적인 연구 사례들에 대한 분석을 통해 관점들의 특성에 관하여 구체적으로 이해하고, 그들 사이의 차이를 비교하고, 이러한 비교를 바탕으로 그들 사이의 연결 가능성에 관하여 논의하였다. 각 관점에서의 실제적인 연구 사례들에 대한 분석 결과, 관점들이 주로 기반을 두는 인식론적인 배경, 주요한 연구 초점, 수학 학습에 대한 개념화 방식, 수학 학습에서의 다이어그램의 역할 및 다이어그램과 관련된 교사의 역할에 대한 설명 방식 등을 파악할 수 있었다. 그리고 이러한 논의를 종합하여 세 가지 관점을 특성화하는 설명 방식 상에서의 차이를 조망하는 비교 틀을 도출하였다. 그리고 각 관점의 연구 초점 상의 유사성과 차이점에 기반을 두고 관점들 사이의 연결 가능성에 관하여 논의하였다. 특히 구조-기반 관점과 맥락-기반 관점, 그리고 맥락-기반 관점과 물질-기반 관점 등의 두 가지 조합의 네트워킹을 실제 수업 사례 분석에 적용하기 위한 방안을 구체화시켰다. 관점들 사이의 연결 가능성에 관한 앞선 논의를 바탕으로 두 가지 조합의 네트워킹을 실제 수업 사례에 대한 분석에 적용한 결과는 다음과 같다. 첫째, 구조-기반 관점과 맥락-기반 관점을 동일한 수업 사례에 적용한 분석 결과는 상당 부분 차이가 있었지만 이를 변증법적으로 결합시켜 해석해봄으로써 교수학적인 인공물로서의 다이어그램을 다루는 활동을 통한 수학 학습 과정의 다면성에 관한 상호보완적인 이해를 모색할 수 있었다. 둘째, 맥락-기반 관점과 물질-기반 관점을 조정하여 도출한 새로운 분석 틀을 적용하여 수업 사례를 분석한 결과 학생들의 다이어그래밍을 통한 탐구 과정에서 학생과 다이어그램 사이의 인식론적 거리가 역동적으로 변화하는 장면을 포착할 수 있었으며 이는 단일한 관점에서의 분석만으로는 포착하기 어려운 현상의 새로운 측면에 해당하였다. 본 연구는 관련 연구들에 관한 고찰을 통해 기호로서의 다이어그램을 바라보는 관점을 구조-기반, 맥락-기반, 물질-기반 관점의 세 가지로 구분하는 틀을 제시하였다. 이와 같은 틀은 수학 교수-학습 현상에 수반되는 다이어그램의 역할과 중요성에 관하여 다양한 각도에서 조망할 수 있도록 한다는 점에서 의의를 갖는다. 또한 본 연구는 이러한 세 가지 관점 사이의 생산적인 연결을 위한 방안을 모색하였다. 관점들의 통합적이고 체계적인 종합을 위한 예비적인 시도로서 부분적인 네트워킹이 시도되었으며, 이를 통해 현상의 다차원적인 특성에 대해 상호보완적으로 들여다보고 새로운 측면을 드러내기도 하였다. 다만 본 연구는 한정된 문헌들에 대한 검토를 통해 관점의 구분을 도출하였다는 점에서 가능한 모든 관점을 포괄하지 못한다는 한계를 갖는다. 이에 따라 본고에서 제시한 틀을 보완하고 확장하는 후속 연구의 필요성이 제기된다. 또한 본 연구에서 시도한 두 가지 조합의 부분적인 네트워킹을 넘어서 다른 조합이나 보다 포괄적인 수준에서의 네트워킹이 가능한지에 관한 추가연구의 필요성 역시 제기된다.