Integer Optimization and Approximate Dynamic Programming Approaches for Lot-sizing and Scheduling Problem with Sequence-dependent Setups

Abstract

Lot-sizing and scheduling problem, an integration of the two important decision making problems in the production planning phase of a supply chain, determines both the production amounts and sequences of multiple items within a given planning horizon to meet the time-varying demand with minimum cost. Along with the growing importance of coordinated decision making in the supply chain, this integrated problem has attracted increasing attention from both industrial and academic communities. However, despite vibrant research over the recent decades, the problem is still hard to be solved due to its inherent theoretical complexity as well as the evolving complexity of the real-world industrial environments and the corresponding manufacturing processes. Furthermore, when the setup activity occurs in a sequence-dependent manner, it is known that the problem becomes considerably more difficult.

This dissertation aims to propose integer optimization and approximate dynamic programming approaches for solving the lot-sizing and scheduling problem with sequence-dependent setups. Firstly, to enhance the knowledge of the structure of the problem which is strongly NP-hard, we consider a single-period substructure of the problem. By analyzing the polyhedron defined by the substructure, we derive new families of facet-defining inequalities which are separable in polynomial time via solving maximum flow problems. Through the computational experiments, these inequalities are demonstrated to provide much tighter lower bounds than the existing ones. Then, using these results, we provide new integer optimization models which can incorporate various extensions of the lot-sizing and scheduling problem such as setup crossover and carryover naturally. The proposed models provide tighter linear programming relaxation bounds than standard models. This leads to the development of an efficient linear programming-based heuristic algorithm which provides a primal feasible solution quickly. Finally, we devise an approximate dynamic programming algorithm. The proposed algorithm incorporates the value function approximation approach which makes use of both the tight lower bound obtained from the linear programming relaxation and the upper bound acquired from the linear programming-based heuristic algorithm. The results of computational experiments indicate that the proposed algorithm has advantages over the existing approaches.

공급망의 생산 계획 단계에서의 주요한 두 가지 단기 의사결정 문제인 Lot-sizing 문제와 Scheduling 문제가 통합된 문제인 Lot-sizing and scheduling problem (LSP)은 계획대상기간 동안 주어진 복수의 제품에 대한 수요를 최소의 비용으로 만족시키기 위한 단위 기간 별 최적의 생산량 및 생산 순서를 결정한다. 공급망 내의 다양한 요소에 대한 통합적 의사 결정의 중요성이 커짐에 따라 LSP에 대한 관심 역시 산업계와 학계 모두에서 지속적으로 증가하였다. 그러나 최근 수십 년에 걸친 활발한 연구에도 불구하고, 문제 자체가 내포하는 이론적 복잡성 및 실제 산업 환경과 제조 공정의 고도화/복잡화 등으로 인해 LSP를 해결하는 것은 여전히 어려운 문제로 남아있다. 특히 순서의존적 작업준비가 있는 경우 문제가 더욱 어려워진다는 것이 잘 알려져 있다.

본 논문에서는 순서의존적 작업준비가 있는 LSP를 해결하기 위한 정수 최적화 및 근사 동적 계획법 기반의 해법을 제안한다. 먼저, 이론적으로 강성 NP-hard에 속한다는 사실이 잘 알려진 LSP의 근본 구조에 대한 이해를 높이기 위하여 단일 기간만을 고려하는 부분구조에 대해 다룬다. 단일 기간 부분구조에 의해 정의되는 다면체에 대한 이론적 분석을 통해 새로운 유효 부등식 군을 도출하고 해당 유효 부등식들이 극대면(facet)을 정의할 조건에 대해 밝힌다. 또한, 도출된 유효 부등식들이 다항시간 내에 분리 가능함을 보이고, 최대흐름문제를 활용한 다항시간 분리 알고리듬을 고안한다. 실험 결과를 통해 제안한 유효 부등식들이 모형의 선형계획 하한강도를 높이는 데 큰 영향을 줌을 확인한다. 또한 해당 부등식들이 모두 추가된 모형과 이론적으로 동일한 하한을 제공하는 확장 수리모형(extended formulation)을 도출한다. 이를 활용하여, 실제 산업에서 발생하는 LSP에서 종종 고려하는 주요한 추가 요소들을 다룰 수 있는 새로운 수리 모형을 제안하며 해당 모형이 기존의 모형에 비해 더욱 강한 선형계획 하한을 제공함을 보인다. 이 모형을 바탕으로 빠른 시간 내에 가능해를 찾을 수 있는 선형계획 기반 휴리스틱 알고리듬을 개발한다. 마지막으로 해당 문제에 대한 근사 동적 계획법 알고리듬을 제안한다. 제안하는 알고리듬은 가치함수 근사 기법을 활용하며 특정 상태의 가치를 근사하기 위해 해당 상태에서의 근사함수의 상한 및 하한을 활용한다. 이 때, 좋은 상한 및 하한값을 구하기 위해 제안된 모형의 선형계획 완화문제와 선형계획 기반 휴리스틱 알고리듬을 사용한다. 실험 결과를 통해 제안한 알고리듬이 기존의 방법들과 비교하여 우수한 성능을 보임을 확인한다.