Analogue Gravity: Quantum Backreaction and Quantum Many-Body Black Holes in a 1D Finite-Size Bose-Einstein Condensate

Abstract

아날로그 중력은 휘어진 시공간에서의 물리를 실험실에서 가능한 실험으로 시뮬레이션하는 학제간 연구 프로그램이다. 본 연구는 입자간 상호작용이 접촉 상호작용인 준-1차원 유한한 크기의 보즈-아인슈타인 응축체 (BEC)에서의 측정가능한 아날로그 중력 효과를 다루고 있다. 보즈 가스의 해밀토니안이 전체 $U(1)$-대칭성이 있기 때문에, 총 입자의 수 $N$은 고정되어있다. 따라서, 큰 $N$을 가진 시스템에서, $1/\sqrt{N}$을 장의 작은 전개 매개변수로 사용할 수 있다. 이 논문에서 입자수를 보존하는 보골리우보프 전개는 $U(1)$ 대칭성을 깨는 보통의 입자수를 보존하지 않는 보골리우보프 전개에 단순하게 장의 $N^{-1/2}$-차 항을 포함하여 행해진다. 그 포함된 장은 보골리우보프 장에 의해 유도된 응축의 보정으로 해석된다. 전개의 타당성은 오로지 결손이 작다는 보골리우보프 근사에 의존한다. 그리고 분석은 타당한 영역에서 행해졌다. 특히, 타당한 영역의 시간 규모도 연구되었다.

본 연구는 극저온 가스 실험에서 실현 가능한 두 개의 유한한 크기의 시스템을 다룬다. 첫 번째로, 1차원 유한한 크기의 균일한 보즈-아인슈타인 응축이 연구되었다. 입자수를 보존하는 보골리우보프 전개를 이용하여, 운동방정식의 이 모델에 대한 $N^{-1/2}$-차 항 전개까지 정확한 모드 해를 얻을 수 있다. 응축은 처음에 상호작용하지 않으며, 바닥상태에 있다고 가정하여 잘-정의된 초기 진공상태를 보장한다. 갑자기 상호작용을 켜서, 응축은 순간적으로 평형상태에서 벗어난다. 특히,이 초기 진공 가정은 위상 분산과 그로인한 응축체 붕괴로 말미암아 생기는 상호작용하는 응축체의 모호한 진공의 정의를 피할 수 있게 해준다. 주어진 진공 상태에서 모드 전개의 정확한 해를 이용하여, 결손과 응축체 보정이 계산되었다. 결손과 응축체 보정은 파워 스펙트럼 관측을 통해서는 구분할 수 없음을 밝혔다. 게다가, 비록 초기 응축체가 정지한 상태이고 응축의 주요 항은 움직이지 않더라도, 결손된 입자들의 양자요동이 자명하지 않는 버금 차수의 응축 흐름을 만들어낸다.

더욱이, 양자 백리액션 힘이 마들룽 표현을 통해 얻을 수 있는 오일러 힘에서 벗어난 정도로 정의되었다. 또한, 주요 차수 항에서 정지한 응축체의 경우, 전개 차수 ($N^0$) 에서, 고전 힘이 오직 총 입자의 밀도에만 의존함을 보였다. 따라서, 총 밀도를 시간의 함수로 아는 것이 실험적으로 양자 백리액션 힘을 측정할 수 있는 실현 가능한 방법을 준다. 게다가, 고전힘과 총 힘이 보존 형태로 쓰일 수 있다. 즉, 그들에 대한 스칼라 퍼텐셜을 찾을 수 있다. 퍼텐셜이 힘보다 훨씬 빠르게 수렴하기 때문에, 고전과 총 퍼텐셜을 해석적 형태로 구하고 그들을 그릴 수 있다. 그로부터 양자 백리액션 힘이 경계면 근처에서 고전 힘을 많이 줄여준다는 것을 확인할 수 있다.

두 번째로, 1차원 유한한 크기의 부분적으로 균일한 흐름 모형을 연구했다. 흐름은 경계에 놓여진 결맞은 소스와 드레인을 통해 유지된다. 각 영역에서 마하수는 흐름 속도와 각 영역에서 음속의 비율로 정의된다. 특히, 아날로그 사건 지평선은 마하수가 $1$을 넘어가는 영역으로 정해진다. 해밀토니안의 에르미션아님과 관계 없이 원론적으로는 안정적인 사건 지평선 하나를 가지는 음파 블랙홀 모형이 유지될 수 있음을 보였다.

블랙홀-화이트홀 쌍에서와 같이 동적 불안정이 발생한다. 블랙홀의 생존시간이 불안정에 의해 정의되며, 시스템 매개변수에 대한 생존 시간 역시 연구되었다. 이 모델에 대한 양자 결손이 보골리우보프 이론의 타당성을 검증하고 아날로그 호킹 과정을 묘사하는 도구로 제안되었다. 사건지평선 안쪽과 바깥쪽 모두에서 호킹복사의 명백한 신호를 찾을 수 있다. 불안정과 쉬프-스나이더-와인버그 현상과의 관계가 정성적으로 연구되었다.

Analogue gravity is an interdisciplinary research program which simulates curved spacetime physics using tabletop experiments. This study concerns, in principle, the measurable analogue gravitational effect in quasi-1D finite-size dilute Bose-Einstein Condensate (BEC) whose inter-particle interaction is contact interaction. Because the Hamiltonian of the Bose gas has the global $U(1)$-symmetry, the total number of particle $N$ is fixed. Hence, in the large $N$ system, one can use $1/\sqrt{N}$ as a small expansion parameter for the field. A number-conserving Bogoliubov expansion in this thesis is done by simply including the $N^{-1/2}$-order field to the usual non-number-conserving Bogoliubov expansion which breaks $U(1)$-symmetry breaking. The included field is interpreted as a condensate correction induced by the Bogoliubov field. The expansion validity solely depends on the Bogoliubov assumption of the smallness of the depletion. And the analysis is done in a valid regime. Especially, the time scale of such a validity regime is investigated also.

The study covers two finite-size systems which are experimentally feasible in ultra-cold gas. Firstly, the 1D finite homogeneous BEC is investigated. Using the number-conserving Bogoliubov expansion, one can get the exact mode solution for the equations of motion up to $N^{-1/2}$-order field expansion for this model. The condensate is assumed to be noninteracting in the beginning, and in its ground state to ensure a well-defined initial vacuum state. By suddenly turning on the interaction, the condensate is driven out of equilibrium instantaneously. Notably, this assumption of the initial vacuum state allows one to avoid the ambiguity in choosing a vacuum state for interacting condensate which is due to phase diffusion and the consequent condensate collapse. Using the exact solution of mode expansion in a given initial vacuum state, the depletion and condensate correction is calculated. It is revealed that the depletion and condensate density corrections cannot be disentangled by the measurement of the power spectrum. Furthermore, even though the initial condensate is at rest and the leading order condensate does not move, the quantum fluctuation of the depleted particles gives rise to a nontrivial condensate flux in the subleading order.

Moreover, the quantum backreaction force is identified as the deviation from the classical Eulerian force which can be obtained by using the Madelung representation. It is also shown that for the leading order condensate at rest, the classical force in the working order ($N^0$) is determined by only the total density of particles. Hence, the knowledge of total density as a function of time gives the viable route for experimental measurement of quantum backreaction force. In addition, the classical and total force can be written as a conservative form, i.e., one can find the scalar potential for them. Because the potential converges much faster than force, one can get the classical and total force potential in analytic form and can plot them, from which one can demonstrate that the quantum backreaction force attenuates a lot of the classical force near the boundaries.

Secondly, the 1D finite-size piece-wise homogeneous flow model is studied. The flow is sustained by the coherent source and drain placed at its boundary. The Mach number in each region is the ratio between the flow velocity and the sound speed in each region. Especially, the analogue event horizon is determined by the Mach number exceeding $1$. It is shown that, regardless of the non-Hermicity of the Bogoliubov Hamiltonian, it is, in principle, possible to sustain the stationary sonic black hole with a single event horizon.

The dynamical instabilities occur like black hole-white hole pairs. The black hole's lifetime is defined by the instabilities and the lifetime dependence on the system parameters is also investigated. Quantum depletion in this model is suggested as a diagnostic tool to validate the usage of Bogoliubov's theory and to describe the analogue Hawking process. One can find the clear signature of Hawking radiation in the depletion both inside and outside the event horizon. The relation between the Schiff-Snyder-Weinberg effect to the instability in the model is also investigated qualitatively.