Geometric Methods for Dynamic Model-Based Identification and Control of Multibody Systems

Abstract

다물체 기계시스템은 모델 기반 계획과 제어를 필요로 하는 다수의 입력-출력 시스템들을 이룬다. 최근 들어, 휴머노이드나 4족 보행 로봇과 같은 복잡하고 고차원의 로봇들이 매우 동적인 임무와 동작들을 수행하기 시작하면서 로보틱스 분야에서 모델 기반 계획과 제어 기법들이 더욱 주목을 받고 있다. 이런 모델 기반 방법들의 성능이 모델 추정치의 정확도와 직결되는 반면, 복잡하고 고차원의 로봇들에 대한 모델 추정은 일반적으로 수많은 어려움들을 야기한다.

본 논문에서는 이런 어려움들이 좌표계에 불변한 미분 기하학적인 접근으로 해결될 수 있음을 입증한다. 주 요점은 질량 관성 파라미터와 같은 물리적 값을 지닌 파라미터들이 휘어진 리만 공간상의 요소로 확인됨에 따라 물리적으로 자연스러운 거리 측량이 가능해짐에 있다. 이런 기하학적인 접근에 기반을 두어, 다양한 단계와 상황들에 있어서 강건한 모델 파라미터 추정을 가능하게 하는 좌표계에 불변한 기하하적인 알고리즘들을 제안하였다.

먼저, 비 실시간 파라미터 추정을 위한 새로운 기하학적 문제 정의와 그에 따른 효율적인 알고리즘들을 제안하였다. 특히, 리만 거리 함수의 이차 근사 함수들을 이용하여 기하학적 파라미터 추정 문제를 볼록 최적화 문제로 재정의 하였다. 이로써 빠르고 유일해로의 수렴성이 보장되는 볼록 최적화 기법들의 사용이 가능해짐뿐만 아니라, 좌표계 불변의 성질이 보존 되며, 추가적인 볼록 구속 조건의 도입이 용이해지게 된다. 로봇팔 부터 보행로봇 그리고 인체 모델에 이르는 제한된 센서 측량 값을 가지는 고차원의 다물체 시스템들에 대해 제안된 방법들을 심도 있게 검증하였으며, 기존의 벡터 공간상의 방법들에 비하여 추정치들의 강건성과 보편성이 크게 증가함을 확인할 수 있었다.

다음으로, 파라미터 추정에 필요한 최적 궤적 데이터 생성에 대한 문제를 다루었다. 궤적 데이터들의 정보량을 좌표계 불변한 방식으로 측량할 수 있는 새로운 표준 함수들을 정의하였다. 따라서 제안된 표준함수로 최적화된 궤적 데이터들은 항상 좌표계에 불변하다. 또한, 최적 궤적 생성을 위한 효율적이고 강건한 구배 기반 수치적 최적화 알고리즘을 제시하였다. 또한, 제안된 기하학적 방법을 기반으로, 주어진 궤적데이터로 부터 효과적으로 추정 가능한 파라미터들을 식별하는 좌표계 불변한 알고리즘을 고안하였다. 이는 매우 제한된 궤적의 구동만 가능한 휴머노이드와 같은 고차원 로봇의 파라미터 추정문제에 특별히 용이하다. 산업용 로봇과 휴머노이드 로봇에 대한 수치적 실험을 통해 제안된 방법을 검증한 결과 파라미터 추정의 강건성과 정확도가 크게 향상됨을 보였다.

마지막으로, 실시간 파라미터 추정이 수반되며 폐루프 제어 시스템의 안전성 까지 고려되어야 하는 로봇 적응 제어 기법을 위한 기하학적 알고리즘을 제안하였다. 먼저, 질량-관성 파라미터의 리만 다양체 구조를 더 일반적인 물리적 파라미터 공간으로 확장 하였다. 그 다음으로, 좌표계 불변하고 기하학적으로 자연스러운 리아푸노프 함수를 설정함에 따라 자연스럽고 안정성이 보장되는 파라미터 적응법을 유도되었으며, 실제로 리만 공간상의 자연스러운 구배 흐름 방정식과 같은 꼴로 나타남을 확인할 수 있었다. 특히, 제안된 접근법은 게인 매트릭스를 직접 시행착오를 통해 과도하게 조율해야하는 기존 방법들의 한계점을 해결하였다. 나아가 임의의 볼록 구속 조건을 만족시키는 강건 적응 제어 기법으로 본 방법을 확장할 수 있었다. 7 자유도 로봇팔의 궤적 추적 적응제어 작업에 대한 수치적 실험과 실제 실험을 통해 제안된 방법을 검증하였으며, 게인 수치의 과도한 조율 없이도 추적 에러가 크게 감소하는 것을 확인할 수 있었다.

Multibody mechanical systems constitute a large and important class of input-output systems that are the subject of model-based planning and control. Model-based control and planning methods in robotics have recently gained more attention, as complex, high-dimensional robots, e.g., humanoids and quadruped robots, are beginning to perform highly dynamic tasks. While the performance of these methods is in general affected by the accuracy of the model, common situations for complex high-dimensional systems raise a number of difficulties in estimating the model parameters in a robust and generalizable manner.

In this thesis, we demonstrate that many of the challenges can be mitigated by appealing to coordinate-invariant, differential geometric methods. The key lies in the finding that mass-inertial parameters reside in a curved space of positive definite matrices endowed with a natural Riemannian metric which captures the distance between the parameter pairs in a physically meaningful, coordinate-invariant way. Taking this geometric perspective as our point of departure, we present geometric, coordinate-invariant algorithms that allow robust estimation of the parameters in various stages and situations of estimation.

We first propose geometric formulations and algorithms for robust offline parameter identification of multibody mechanical systems. In particular, we provide a convex programming approach to the geometric dynamic parameter identification through the use of second-order approximations of the Riemannian distance. Not only does this allow for the use of fast convex optimization algorithms that are guaranteed to converge to a global solution, but also ensures coordinate-invariance while allowing for the inclusion of additional convex constraints as imposed by physical considerations and other practical requirements. Our geometric identification methods are validated through extensive experiments on a wide range of systems ranging from a robot manipulator to a legged robot and a human subject. The results show markedly improved robustness and generalizability vis-\`a-vis existing vector space methods.

Then we address the problem of generating optimal excitation trajectories for parameter identification. We suggest a new set of optimality criteria that encodes the information from the trajectory samples in a coordinate-invariant way. The resulting optimal excitation trajectories are coordinate invariant and can be obtained efficiently and robustly using recursive analytic gradients of the criteria. The proposed geometric framework is also used to devise a coordinate-invariant algorithm for characterizing the effectively identifiable set of parameters given a set of excitation trajectory samples. The suggested method is particularly useful for robust identification of high-dimensional systems like humanoid robot that can execute only a limited range of feasible trajectories. The improved robustness and accuracy of our geometric approach in comparison to existing methods is demonstrated through numerical experiments involving industrial manipulators and a humanoid robot.

Finally, we propose a geometric parameter adaptation law for adaptive control of robot manipulators. Toward deriving our geometric adaptation law, we extend the way of defining Riemannian manifold structure on the space of feasible inertial parameters to more general types of mechanical parameters including, e.g., joint frictions and stiffness. Then we show that a coordinate-invariant choice of a Lyapunov function that can be naturally defined on the so-called Hessian manifold of mechanical parameters leads to an adaptation law that can be viewed as a natural gradient descent flow on the corresponding manifold. Perhaps most importantly, our geometric approach considerably reduces the degree to which engineering choices must be made in the adaptation gain matrix compared to the existing methods. Our geometric adaptive control framework is further extended to robust adaptive control where arbitrary convex constraints imposed on the parameters can be taken into account with geometric projection methods. The efficacy of our method is verified with adaptive trajectory tracking control task involving a seven-dof robot manipulator through both simulation and real experiment.