Regularity results for fully nonlinear equations with oblique boundary conditions and time-dependent tug-of-war games

Abstract

In this thesis, we deal with two different types of problems related to nonlinear partial differential equations. One is the oblique derivative problem and the other is the tug-of-war game.

We study fully nonlinear elliptic and parabolic equations in nondivergnece form with oblique boundary conditions in the first part. Our boundary condition is a generalization of the Neumann condition. We derive global Calder\'{o}n-Zygmund type estimates under a minimal boundary regularity assumption.

In the second part, we study a stochastic two-player zero-sum game which is called tug-of-war. In particular, we consider time-dependent games. We show global Lipschitz type estimates for value functions of such stochastic games. Furthermore, we also investigate their long-time asymptotics and PDE connections as applications.

이 학위 논문에서는 비선형 편미분방정식과 관련된 두 가지 유형의 문제를 다룬다. 구체적으로 우리는 사선형 문제와 줄다리기 경기에 대하여 해의 정칙성을 중점적으로 탐구한다.

먼저, 우리는 논문의 전반부에서 사선형 미분경계조건이 주어진 비발산 완전 비선형 타원형 및 포물형 방정식을 연구한다. 사선형 경계조건은 노이만 경계조건의 일반화라고 할 수 있는데, 우리의 목표는 이러한 문제에 대해 경계의 $C^{3}$-정칙성 가정 하에서 칼데론-지그문트 유형의 가늠을 이끌어내는 것이다.

한편, 후반부에서 우리는 줄다리기 경기로 불리우는 2인 영합 확률경기, 그 중에서도 시간 의존형 경기에 대해 탐구한다. 우리는 이러한 확률경기의 결과값에 대한 립쉬츠 유형의 가늠을 얻는다. 또, 이러한 결과의 응용으로서 우리는 결과값 함수의 장기간 점근적 행동과 편미분방정식과의 연관성에 대해서 연구한다.