Exponential Concentration for Median-of-means Estimators on NPC spaces

Abstract

In Euclidean spaces, the empirical mean vector as a mean estimator has polynomial concentration unless a strong tail assumption is imposed. The idea of median-of-means tournament has been considered as a way of robustification for the empirical mean vector. In this paper, to address the sub-optimal performance of the empirical mean in a more general setting, we consider general Polish spaces with a general metric, which are allowed to be non-compact and of infinite-dimension. We discuss the estimation of the associated population Frechet mean, and for this we extend the existing notion of median-of-means to this general setting. We devise several new notions and inequalities associated with the geometry of the underlying metric, and using them we show that the new estimators achieve exponential concentration under the only second moment condition on the underlying distribution, while the empirical Frechet mean has polynomial concentration. We focus our study on spaces with non-positive Alexandrov curvature since they afford slower rates of convergence than spaces with positive curvature.

유클리드공간에서 표본평균 벡터는 평균 추정량에 대해 오직 다항적 집중만을 가진다. 이에, 중앙값-평균(median-of-means) 추정량이 표본평균 벡터의 강건화의 일환으로 제시되었다. 본 논문에서는 비옹골(non-compact) 혹은 무한 차원 폴란드 공간(Polish space)에서 일반적인 거리가 주어졌을 때의 프레셰(Frechet) 모평균 추정에 관한 문제를 다룬다. 이를 위해, 기존의 중앙값-평균의 정의를 확장하였고, 주어진 공간의 기하학적 성질을 반영하기 위해 고안된 개념들과 부등식을 이용하여 표본 프레셰 평균은 다항적 집중만을 가지는 반면, 본문에서 제시한 새로운 추정량은 지수적 집중을 가짐을 보인다. 특히, 본 연구는 양곡률 공간보다 수렴속도가 더 느린 음곡률 공간에 초점을 두고 있다.