Analytical Solution for Velocity Field Scattered by Submerged Permeable Breakwaters

Abstract

Presented herein are the formulation of the problem and its analytical solution for the velocity field scattered by submerged permeable breakwaters under the linear monochromatic wave.

This study set the problem that a permeable breakwater is submerged in the water with vertically occupying a finite interval under a small amplitude linear wave train. Assuming that the fluid has an infinite depth and the flow is incompressible, inviscid, and irrotational, the potential wave theory can be applied. However, the flow through the permeable plate imposes a nonlinear boundary condition on the plate.

Therefore, a perturbation method was applied to resolve this nonlinear boundary condition, with a small parameter representing the permeability. When the problem was expanded up to the first order, the leading-order problem represents the velocity potential scattered by the impermeable breakwater, whereas the first-order problem gives the correction to the velocity potential considering the wave scattering by the permeable breakwater.

The reduction method was adopted to simplify the boundary conditions, replacing the spatial potential with the reduced potential. This leads to the homogeneous Riemann-Hilbert problem for the leading-order problem and the nonhomogeneous Riemann-Hilbert problem for the first-order problem. The exact, closed-form expressions of the velocity field for each problem were derived.

As an illustrative example of the application of the obtained velocity field, the reflection and transmission coefficients were calculated in various wave and breakwater conditions. Here, an approximate numerical quadrature method for evaluating finite Hilbert transform using Chebyshev polynomials was used. The results showed that the permeable breakwaters could dissipate more wave energy compared to the impermeable breakwaters. In addition to the evaluation of the wave attenuation efficiency, the velocity field can be utilized in various ways, such as calculating the hydrodynamic wave forces exerted on the breakwater.

본 연구는 선형파 조건에서 수중 투과성 방파제에 의해 산란된 유속장에 대한 문제를 정의하고 그에 대한 해석해를 제시한다. 본 연구에서는 문제 상황으로 물에 잠긴 투과성 방파제가 수직하게 유한한 구간만큼 있고, 그 위에 미소진폭파가 오는 상황을 상정하였다. 유체의 수심이 무한히 깊고 흐름이 비압축성, 비점성, 비회전성을 만족한다면, 포텐셜 이론을 적용할 수 있다. 그러나, 투과성 판을 뚫는 흐름으로 인해 판에서는 비선형적인 경계조건이 주어지고, 이는 문제에 대한 해가 존재할 수 없도록 한다. 따라서, 이러한 비선형적인 경계조건을 해결하기 위해 투과성을 대표하는 작은 매개변수를 설정해 섭동법을 적용하였다. 일차항까지 전개하였을 때, 영차 문제는 불투과성 방파제에 의한 산란된 유속 포텐셜을 나타나개 되고, 일차 문제는 투과성 방파제에 의해 산란된 유속장을 고려해 영차해에 수정 효과를 준다. 이에 더해 경계조건을 더욱 간단히하기 위해 공간 포텐셜에 관한 문제를 축소 포텐셜(reduced potential)에 관한 문제로 치환하여 축소법(reduction method)을 적용하였다. 이는 영차 문제에 관해서는 동차 리만-힐베르트 문제를 만족시키고, 일차 문제에서는 비동차 리만-힐베르트 문제가 된다. 이렇게 정의한 문제를 풀어 각 차수의 유속장에 대해 완전한 닫힌 형태의 해를 유도하였다. 유도된 유속장 해의 활용 방안 예시로, 다양한 파랑 조건과 방파제 조건에서의 반사계수와 투과계수를 산정하였다. 이 때, 유한 힐베르트 변환은 체비셰프 다항식을 이용한 근사 수치 구적법으로 계산되었다. 산정 결과 투과성 방파제가 불투과성 방파제보다 파랑 에너지를 더 많이 소산시키는 것을 볼 수 있었다. 본 연구에서 유도된 유속장은 파고 감쇠 효과를 평가하는 것 외에도 방파제에 가해지는 힘이난 모멘트 등 유체역학적 파력을 산정하는 것과 같이 다양하게 활용될 수 있다.