Affine RSK correspondence and crystals of level zero extremal weight modules

Abstract

The Robinson-Schensted-Knuth (RSK) correspondence is a bijection that maps a matrix of non-negative integers to a pair of semistandard tableaux of the same shape. The correspondence has deep connections to algebraic combinatorics and representation theory, serving as the combinatorial counterpart of the Howe duality on a symmetric algebra over the space of matrices. From the viewpoint of crystal theory, the correspondence preserves the crystal structures on the set of matrices and the set of pairs of tableaux.

Recently, Chmutov-Pylyavskyy-Yudovina extended the correspondence to affine permutations using diagrammatic method which is called the matrix-ball construction. In this thesis, we introduce an affine analogue of the RSK correspondence, which generalizes the result of Chmutov-Pylyavskyy-Yudovina via standardization. The affine RSK maps an affine matrix to a pair of tableaux of the same shape, where one of the pair belongs to a tensor product of perfect crystals of level one, and the other belongs to a crystal of a level zero extremal weight module. We prove that the affine RSK preserves the affine crystal structures of type $A$. We give a brief comparison of our result with another affine generalization of RSK introduced by Imamura-Mucciconi-Sasamoto. We also introduce a dual affine RSK correspondence.

Robinson-Schensted-Knuth (RSK) 대응은 음이 아닌 정수 계수를 갖는 행렬을 같은 모양의 반표준 타블로 쌍에 대응시키는 전단사 함수이다. 이 대응은 대수적 조합론, 표현론과 깊은 관련이 있으며, 행렬 공간 위의 대칭대수의 하우 쌍대성을 조합적으로 설명한다. 결정이론적 관점에서 RSK 대응은 행렬집합과 타블로 쌍들의 집합위에 정의된 결정구조를 보존한다.

최근 Chmutov-Pylyavskyy-Yudovina의 연구에서 행렬-공 구성이라 불리는 도형적 방법으로 RSK 대응을 아핀 순열로까지 확장하였다. 본 학위논문에서는 이들의 결과에 표준화를 사용하여 아핀 행렬로 확장된 아핀 RSK 대응을 소개한다. 이 아핀 RSK는 아핀 행렬을 같은 모양의 타블로 쌍에 대응시키는데, 이 중 하나는 레벨 1 완전 결정의 텐서곱의 원소이고, 다른 하나는 레벨 0 극단 무게 가군 결정의 원소이다. 이 때, 아핀 RSK 대응이 $A$형 결정 구조를 보존함을 증명하고, Immamura-Mucciconi-Sasamoto가 소개한 또다른 아핀 일반화된 RSK 대응과의 간략한 비교를 제시한다. 끝으로 쌍대 아핀 RSK 대응 또한 소개한다.