Aleksandrov-Bakelman-Pucci estimate for nonlocal partial differential equation on manifold

Abstract

This thesis consists of three papers concerning nonlocal elliptic equations on the manifold. In the first paper, we establish the Alexander-Bekelman- Pucci estimate, which is the maximum principle, for fully nonlinear nonlocal equations in a nondivergence form on the manifold with nonnegative sectional curvature. Our approach is based on the control of normal map, and the direct comparison from the sectional curvature condition. The second paper deals with the ABP estimate on hyperbolic space. In hyperbolic space, the behav- ior of the heat kernel is different from that on Euclidean space. Hence, in the ABP estimate, there is nonhomogeneous behavior. The heart of the analysis lies in capturing the qualitative property for the integral values related to the jump kernel. From these ABP estimates, we obtain Krylov-Safonov Harnack inequality. The third paper discusses the equivalent definitions of fractional p-Laplacian on hyperbolic space. Especially, we establish Caffarellis exten- sion problem. As a remark, we get the coefficient of fractional Laplacian on hyperbolic space and the robustness of Harnack inequality and Hölder regularity.

본 학위논문은 비국소 타원형 방정식을 다룬 세 편의 연구논문으로 구성된다. 첫 번 째 논문에서, 우리는 최대값 정리의 일종인 알렉산드로브-베켈만-푸찌 정리를 완전 비선형 비국소 작용소에 대해 0 이상의 단면 곡률을 가지는 다양체 위에서 확립한다. 우리의 접근 방법은 정규 함수의 조절과 단면 곡률로 부터 오는 직접 비교에 기인한다. 두 번째 논문은 쌍곡선 공간에서 에이비피 정리를 다루는 것이다. 쌍곡선 공간에서는 열 핵의 움직임이 유클리드 공간과는 다르다. 따라서 에이비피 정리를 얻는 과정에서 그러한 비동차 현상을 관찰할 수 있다. 분석의 핵심은 도약 핵과 관련된 적분 값들의 질적 특징을 얻는 것에 있다. 이러한 에이비피 정리들로 부터 우리는 크릴로브-사포노 브 하낙 부등식을 얻을 수 있다. 세 번째 논문은 부분 쌍곡선 공간에서 피 라플라시안의 대등 정리들에 대한 것이다. 특히, 우리는 카파렐리의 확장 문제 또한 정립할 수 있었 다. 특징으로, 우리는 쌍곡선 공간에서 부분 라플라시안의 계수와 하낙 부등식과 홀더 정칙성의 단단함을 구할 수 있었다.