Oscillatory Integrals, Spectral Multiplier Operators, Semilinear Elliptic Equations, and Pseudodifferential Calculus on Carnot Manifolds

Abstract

논문의 구성은 크게 다음의 세 부분으로 나누어져 있다

선형작용소의 정밀한 계측, 반선형 타원형 방정식, 그리고 캐놋 다양체위에서의 의미분 연산. 이 주제들은 직접적이거나 간접적으로 서로 연관이 되어있다.

첫 부분의 저자의 논문 [CH1, CH2, CH3] 을 바탕으로 하고 진동작용소와 분광 곱 연산자에 관한 정밀 계측을 얻는 것을 목표로 한다. 좀 더 구체적으로, 첫번째 논문 [CH1]에서는 하이젠베르그 군에서 정의된 강한 특수성을 가진 작용소의 $L^2$ 공간과 $H^p$ 공간에서의 바운드를 보인다. $L^2$ 공간 바운드를 위해 퇴화된 형태의 진동작용소 계측을 이용하고, $H^p$ 공간 바운드를 위해서는 하디 공간의 분자 분해를 이용한다. 두번째 논문 [CH2] 에서는 층상화된 군들에서 곱 작용소들의 최대함수들에 대한 정밀화된 $L^p$ 바운드를 구한다. 또한 층상화된 군들의 곱형태의 군에서도 관련된 바운드를 얻고, 하나의 응용으로 하이젠베르그 군에서 결합 분광 곱 작용소들의 최대함수에 대해서도 정밀화된 $L^p$ 바운드를 얻는다. 세번째 논문 [CH3]에서는 바운드가 없는 옹골한 다양체 위에서 정의된 양의 자체 수반 타원형 미분 작용소 $P$가 있을때, 헤르만더-미흘린 조건아래에서 이 작용소와 관련된 분광 곱 작용소들의 최대함수에 대한 정밀화된 $L^p$ 바운드를 구한다.

두번째 부분은 반선형 타원형 방정식들에 대한 공부이고, 논문 [CH4]와 공동 논문 [CKL, CKL2, CS1]을 기반으로 되어있다.

논문 [CH4]에서 우리는 유한 영역내에서 분수 라플라시안을 포함하며 강하게 엮여있는 시스템에 대해서 연구한다. 구체적으로, 우리는 존재성과 비존재성에 관한 결과들을 보이고, 기다스-스프럭 형태의 선 계측, 대칭 구조에 관한 결과를 보인다. 여기서 우리는 논문 [CT, T]에서 보여졌던 비선형 타원형 방정식들에 대한 선 계측에 대해서 새로운 증명을 얻는다.

김승혁 박사님, 이기암 교수님과의 공동 논문인 [CKL]에서는 분수 라플라시안을 포함한 비선형 타원형 방정식들에 대해서 임계지수와 관련되어 최소 에너지 해들의 점근 행동을 공부하고, 다중으로 버블링하는 해들의 존재성을 공부한다. 이것은 Han (1991) [H] 과 Rey (1990) [R] 결과의 비국부적 버전이라고 할 수 있다.

석진명 교수님과 함께 연구한 논문 [CS1]에서 우리는 옹골성이 없는 비국부적 반선형 타원형 방정식에 대해서 공부한다. 구체적으로, 우리는 유한 영역내에서 분수 계수 버전의 브레지스-니렌버르그 문제가 무한해를 갖는다는 것을 증명한다.

이 파트의 마지막 챕터는 김승혁 박사님, 이기암 교수님과의 공동 연구 논문 [CKL2] 을 바탕으로 한다. 이 논문의 목적은 3차원 이상에서 레인-엠덴-파울러 방정식의 임계지수근처에서 다중 버블링하는 해들에 대한 질적 성질들을 얻는데 있다. 각각의 $m$ 버블 해들에서 선형화된 문제를 공부하여, 우리는 처음 $(n+2)m$개의 고유함수와 고유치에 대해서 정확한 계측들을 보인다. 특별히, 우리는 4차원이상에서 다중 버블 해의 모스-인덱스가 그란함수, 로빈함수들의 일차, 이차 미분들로 이루어진 대칭 행렬들로 규명되된다는 Bahri-Li-Rey (1995) 에 의한 고전적인 결과에 대한 새로운 증명을 제시한다. 우리의 증명은 3차원일 경우에도 적용이 된다.

세번째 파트는 라파엘 폰즈교수님과 함께한 논문 [CP1, CP2]를 바탕으로 쓰여졌다. 논문 [CP1] 에서는 캐놋 다양체의 내부적으로 주어진 접한 군 다발들을 정의하고 우선적 좌표에 대해서 공부를 한다. 이를 통해서 캐놋 다양체의 매끈한 접 이군을 정의한다. 이러한 공부들을 바탕으로 논문 [CP2] 에서는 캐놋 다양체위에서의 의미분 작용소에 대한 공부를 합니다. 적절한 의미분 작용소들의 모임을 정의하고 이 작용소들의 계산법을 정확히 구한다. 구체적으로는, 결합, 수반 작용소, 좌표 변환에 관한 구체적인 커널 전개를 구한다. 이것을 통해 우리는 약한 타원성을 가진 미분 작용소들의 역의 구체적인 커널 전개 표현을 얻어낼 수 있다. 또한 관련된 열 미분 작용소에 대한 열 커널 전개도 얻을 수 있다. 이것의 한 응용으로 케놋 다양체위에서의 분광 밴드의 성질을 공부할 수 있다.