예비수학교사의 부등식 증명구성에 관한 분석

Abstract

수학에서 증명이란 수학적 사실을 추측하고 논리적으로 분석하고 정당화하며 그 과정을 반성하는 중요한 수학적 소양 중 하나이다. 수학적 증명은 엄밀한 수학적 기호를 통해 표현된 정의와 정리, 즉 형식적 개념을 연역하여 정당화하는 증명의 표현양식을 따른다. 그러나 증명을 구성하는 과정에서는 예시를 통해 직관적으로 파악하기도 하고 식을 간단하게 표현할 수 있는 방법을 찾기도 하는 등의 다양한 추론 전략이 나타나며 이에 따라 증명 구성을 구문론적 증명과 의미론적 증명으로 분류할 수 있다. 구문론적 증명은 증명의 표현 양식 내에서 증명의 전개 구조를 선택하고 기존에 형식적으로 정립된 정의와 정리, 논리적 연역 규칙을 적용하여 가정들로부터 새로운 결론을 이끌어내는 증명이다. 의미론적 증명은 증명의 표현 양식 외의 다른 표현 양식과 명제 등을 증명 구성에 연결함으로써 명제를 의미적으로 이해하고, 다른 대안적인 표현 양식 안에서 명제가 왜 참이 되는 지를 설명하는 이유를 찾고, 이를 기반으로 증명의 표현 양식에 맞게 작성된 증명이다. 이에 본 연구는 예비수학교사들을 대상으로 사례 연구를 실시하여 코시-슈바르츠 부등식을 어떻게 증명하는지 그 증명방법을 분류하고 증명에 필요한 수학적 개념을 이해의 관점에서 분석하였다. 그 결과 코시-슈바르츠 부등식과 같은 절대부등식의 증명에서도 구문론적 증명과 의미론적 증명으로 분류할 수 있었다. 우선 6명의 연구참여자의 증명은 총 7개의 유형으로 분류할 수 있었다. 이중 4개는 구문론적으로 증명이며 3개는 의미론적으로 증명이다. 구문론적으로 증명을 구성한 연구참여자들은 유사한 명제에 대한 증명 경험을 토대로 증명 계획 수립이 즉각적으로 이루어졌다. 또한 증명의 전개과정에서 사용된 개념들은 증명의 표현양식을 따르는 형식적인 개념 정의였으며 기호나 도구를 이용하여 증명의 과정들을 연결하였다. 특히 구문론적 증명을 성공적으로 수행한 연구참여자들은 차항을 가진 코시-슈바르츠 부등식을 유능하게 전개하였다. 복잡한 식을 치환하거나, 와 벡터로 표현을 간단히 바꾸어 식의 구조를 파악하였으며 이는 증명을 연역적으로 서술하는데 영향을 미쳤다. 의미론적으로 증명을 구성한 연구참여자들은 증명 계획을 수립할 때 부등식의 좌변과 우변을 벡터로 표현하면 그 크기를 비교할 수 있는 개념 이미지를 사용할 수 있다는 아이디어를 떠올렸다. 증명의 전개과정에서는 좌변과 우변의 크기를 시각화하는 그림을 그린 뒤 증명의 표현양식에 맞게 기호를 사용하여 증명을 구성하였다. 특히 이 과정에서 그림을 통해 명제가 참임을 확인하는 과정이 일어났다. 즉, 코시-슈바르츠 부등식이 성립함을 보일 때 전개해야 할 식과 비교해야 할 대상 모두에 초점을 둔 참여자들은 증명 계획을 세울 때 또는 증명 구성 과정에서 어려운 점에 도달하였을 때 좌변과 우변의 크기를 비교할 수 있는 개념이미지를 사용하였음을 알 수 있었으며 연역적 증명을 구성하기 위해 떠올린 개념이미지를 다시 증명의 표현 양식으로 변환할 수 있었다. 수학자는 형식적이고 추상적인 증명을 구성해 낼 필요가 있지만 수학교사는 증명을 통해 학생들에게 개념을 보다 풍부히 이해시킬 필요가 있으므로 구문론적 증명 구성뿐 아니라 의미론적 증명 구성에 익숙해질 필요가 있다. 절대부등식의 의미론적 증명 구성을 하는 연구참여자들은 절대부등식을 전개해야 할 식으로 봄과 동시에 좌변과 우변을 비교할 수 있는 개념이미지를 떠올렸으며 떠올린 개념이미지를 적절히 수학적 표현으로 바꾸어 증명의 표현 양식으로 나타냄을 알 수 있었다.