Classifications of regular ternary triangular forms

Abstract

Let T_x=x(x+1)/2. For positive integers a_1,a_2,...,a_k, a polynomial of the form a_1T_{x_1}+a_2T_{x_2}+...+a_kT_{x_k} is called a triangular form. In this thesis, we study various properties of representations of integers by ternary and quaternary triangular forms. A triangular form is called regular if it represents all positive integers that are locally represented. We classify the regular ternary triangular forms. We also prove several conjectures of Sun regarding the number of representations of integers by ternary and quaternary triangular forms.

다항식 T_x 를 x(x+1)/2 라 정의하자. 자연수 a_1,a_2,...,a_k 에 대해 a_1T_{x_1}+a_2T_{x_2}+...+a_kT_{x_k} 형태의 다항식을 삼각형식이라 부른다. 이 논문에서는 삼변수 삼각형식과 사변수 삼각형식의 표현에 관한 다양한 성질에 관해 연구한다. 어떠한 삼각형식이 국소적으로 표현하는 모든 자연수를 대역적으로 표현하는 경우 이를 정규 삼각형식이라 부른다. 이 논문에서는 정규 삼변수 삼각형식을 분류한다. 또한 삼변수 혹은 사변수 삼각형식에 관한 Sun의 다양한 추측들을 증명한다.