One-dimensional Modeling of Thin-walled Beams with Arbitrary Cross-sections and Their Jointed Structures

Abstract

In a one-dimensional analysis model, displacement field is expressed by cross-section modes. In the classical beam theories, since only six rigid-body cross-section modes are considered, detailed behaviors cannot be expressed, leading to a stiffer structural rigidity compared to three-dimensional analysis models. This limitation can be overcome by considering higher-order modes that represent distortion or warping deformations of a cross-section. Although an accurate analysis of a single beam can be made through this advanced approach, it also arouses another difficulty when analyzing beam structures like space frames. At joints of a beam structure, where multiple beams are connected, joint conditions are needed to define coupling relations of the cross-section modes. In the classical beam theories, a coordinate transformation matrix for the rigid-body cross-section modes can be used as a joint condition. However, when considering the higher-order modes in addition to the rigid-body cross-section modes, a standard transformation is no longer valid, since the higher-order modes have no resultant. In this thesis, fist, a new process to derive cross-section modes is proposed. Equations of cross-section modes are derived from the constitutive relations for a plane stress state, then, the equations are transformed to an eigenvalue problem using mode orthogonality condition. Finally, a set of the cross-section modes are defined through the inner products of a basis function vector and obtained eigenvectors. As this process is repeated, the cross-section modes are recursively derived from the lowest set to higher sets. Second, this thesis proposes a new joint condition that is applicable to a joint of thin-walled beams analyzed by the higher-order modes as well as the six-rigid body modes. The proposed joint condition is defined using the continuities in displacements and rotations at designated connection points along the beam sections. The proposed joint condition two unique features; the connection points are set in a consistent way, and additional displacements induced by mismatch between the beam section and the joint section are taken into account. Without this theory using these features, accurate analyses of complicated beam structures would be impossible. Several numerical case studies covered in this dissertation show that the proposed approaches for the one-dimensional modeling are appropriate to analyze a complicated beam structure with arbitrary sectioned members.

일차원 해석 모델에서는 단면 모드를 통해 변위장이 표현되기 때문에 고려되는 단면 모드의 정의 방법과 개수는 해석 정확도에 큰 영향을 미친다. Euler-Bernoulli 보나 Timoshenko 보 이론과 같은 고전 보 이론에서는 여섯 개의 단면 강체모드만이 고려되기 때문에 상세 변형이 표현되지 않으며, 결과적으로 실제보다 구조 강성이 높게 계산된다. 이와 같은 고전 보 이론의 한계점은 보 단면의 뒤틀림(distortion)이나 일그러짐(warping) 변형을 나타내는 고차 모드를 고려함으로써 해결될 수 있다. 고차 모드는 보의 복잡한 변위 분포를 표현함으로써 강성이 정확하게 평가되도록 하며 역학적 특성을 반영할 수 있도록 정의되어야 한다. 고차 모드는 연결된 보 구조물 해석 시 주의 깊게 다뤄져야 한다. 일차원 해석 모델에서는 여러 개의 보가 연결되는 조인트에서 단면 모드 커플링 관계(조인트 조건)가 정의되어야 한다. 고전 보 이론에서는 단면 강체모드의 조인트 조건이 좌표 변환 행렬을 이용해 간단하게 정의되지만, 결과력을 발생시키지 않는 고차 모드의 경우 방향성을 지니지 않기 때문에 기존 방법으로는 조인트 조건을 정의할 수 없다. 본 논문에서는 임의 단면을 갖는 박판 보에 적용 가능한 단면 모드 정의 방법론과 조인트 조건이 제안된다. 제안하는 단면 모드 정의 방법론에서는 평면 응력 상태에 대한 구성 방정식으로부터 단면 모드 식이 유도되고, 그 식은 단면 모드의 직교 조건을 이용해 고윳값 문제로 변환된다. 이 고윳값 문제를 풂으로써 구해진 고유벡터들을 기반으로 한 세트의 단면 모드들이 정의된다. 이러한 과정이 반복되면서 단면 모드는 저차 세트부터 고차 세트까지 반복적으로 유도된다. 제안하는 조인트 조건은 단면 연결점(connection point)에서 변위 및 회전각 연속 조건을 부여함으로써 정의된다. 연결점은 단면의 형상에 관계없이 일관된 방법으로 지정되기 때문에 다양한 부재로 구성되는 복잡한 보 구조물에 대해서도 조인트 조건을 정의할 수 있다. 또한 보 단면과 조인트 단면이 일치하지 않음에 따라 발생되는 조인트 단면에서의 추가 변위를 고려함으로써 정확한 해석이 가능하다. 타당성 검증을 위해, 제안하는 일차원 모델링 방법론을 이용해 다양한 예제를 풀고 쉘(shell) 해석 결과와 비교해 보았다. 검증을 통해, 제안하는 방법으로 임의 단면을 갖는 복잡한 보 구조물을 고전 보 대비 정확하게 해석 가능함을 확인하였다.