Brownian motions and geodesic flows on finite-volume manifolds with pinched negative curvature

Abstract

The geometry of manifolds governs behaviors of the geodesic flow and the Brownian motion on manifolds. Likewise, the geodesic flow and the Brownian motion on manifolds reflect the geometry of manifolds. Thus we can deduce geometric properties of manifolds from behaviors of the geodesic flow and the Brownian motion. In this thesis, we demonstrate such an ensemble of the geodesic flow, the Brownian motion and the geometry of finite-volume manifolds. First, we establish the central limit theorem of Brownian motions, which arises from the geometry of manifolds: pinched negative curvature and uni- formly bounded first derivatives of sectional curvature. We prove the central limit theorem of the Brownian distance and the Green distance of Brownian points by solving a heat equation on the unit tangent bundle to obtain mar- tingales with the same asymptotic distributions. The main ingredient for the solution of the heat equation is foliated Brownian motions and their contrac- tion property. The foliated Brownian motion is a lifted stochastic process of the Brownian motion to the unit tangent bundle. The last topic is asymptotically harmonic manifolds. We derive a list of characterizations of asymptotically harmonic manifolds with pinched negative curvature. These characterizations reveal that the asymptotic harmonicity is closely related to the Brownian motion. In particular, we relate the asymp- totic harmonicity with the central limit theorem of Brownian motions. As we make use of ergodic properties of the geodesic flow and their relation with the Brownian motion, we need additional assumption on the dynamics of the geodesic flow, namely the existence of an equilibrium state for the harmonic potential.

다양체의 기하학적 성질은 측지흐름과 브라운 운동의 행동의 대부분을 결정 하는데, 역으로 브라운 운동과 측지흐름이 다양체의 기하학적 성질을 반영하기도 한다. 따라서 측지흐름과 브라운 운동을 연구함으로써 다양체의 기하학적 성질을 유추하는 것이 가능하다. 본 학위 논문에서는 다양체에서 측지흐름과 브라운운동 그리고 기하학적 성질 사이의 상호작용을 기술하고자한다. 첫번째로 우리는 브라운 운동의 중심 극한 정리를 증명하는데, 이는 다양체의 기하학적 성질인 고른 유계를 갖는 음수 곡률과 곡률의 1계 미분의 고른 유계 로 부터 나오는 결과라고 할 수 있다. 브라운 운동의 중심극한 정리는 브라운 운동을 따르는 입자의 시작점으로 부터의 거리와 그린 함수의 로그로 정의되는 그린 거리로 정의되는 확률 변수의 분포가 점근적으로 정규분포를 따른다는 것을 말한다. 다양체 위의 브라운 운동의 단위접속으로 올려진 확률 과정을 엽층화된 브라운 운동이라 부르는데, 엽층화된 브라운 운동의 수축정리를 이용하여 중심 극한 정리를 증명할 수 있다. 그 다음으로 두 음수 사이에 갇힌 곡률을 갖는 점근적 조화 다양체의 동치 조건을 제시한다. 동치 명제를 통해 브라운 운동과 점근적 조화 다양체가 긴밀하 게 연관되어 있음을 알 수 있는데, 특히 중심 극한 정리를 적용하여 그린 거리에 대한 점근적 분포의 분산을 이용한 점근적 조화 다양체의 특성화를 유도할 수 있다. 증명 과정이 브라운 운동의 측지 흐름에 대한 에르고딕 성질을 요구하기 때문에 부가적으로 동역학적 성질인 조화 잠재함수의 평형상태의 존재성에 대한 가정이 필요하다.