Phase transitions in higher-order networks

Abstract

복잡계는 비균질적인 구성원들이 다양한 상호작용을 주고받는 시스템이다. 네 트워크는 이러한 시스템의 각 요소를 점, 그 사이의 상호작용을 선으로 표현함으 로써 복잡계 구조에서 나타나는 보편적인 특성과 그 동역학적 효과를 기술하는데 널리 쓰여왔다. 하지만 네트워크는 정의로부터 기인하는 내재적인 제약을 지니고 있다. 연결선은 오직 두 요소의 관계만 표현할 수 있기에 쌍으로 상호작용(pairwise interaction)하지 않는 요소들을 표현하는 것에 어려움을 갖고있다. 고차 네트워크는 정점과 고차연결선(higher-order edge)으로 이루어져 있는 네트워크의 일반화인데, 이것은 셋 이상의 고차 연결을 고려하기에 이 제약에서 자유롭다. 첫째로 우리는 본 학위논문에서 성장하는 복잡계의 데이터 및 모형을 고차 네 트워크의 관점에서 분석하여 복잡계의 단계적 구조 변화를 단체 복합체(simplicial complex) 관점으로 기술하였다. 태동의 단계를 비롯하여 연결성(connectivity)이 확 립되는 단계와 강건성(robustness)이 확립되는 단계를 위상적인 양인 베티 수(Betti number)로 구분하였다. 연결성이 확립되는 단계의 특징인 거시적인 고리 형성을 첫 째 베티 수로, 강건성이 확립되는 단계에서 계의 밀도가 높아짐에 따라 나타나는 국소적인 폐곡면(void) 형성을 둘째 베티 수로 정량화 할 수 있다는 것을 보였다. 시간에 대해 성장하는 고차 네트워크에서 베티 수들이 순차적으로 생기며 증가 한다는 것이 일반적이라는 것을 여러 고차 네트워크 모델 공부를 통해 확인하였다. 특히 성장하는 척도없는 고차 네트워크에서 정의되는 베티 수들 또한 각각 상전이를 보인다는 것을 수치적으로 확인하였다. 또한 첫째 베티수는 네트워크와 단체 복합 체 모두에서 여과 상전이와 정확히 같은 상전이 양상을 보인다는 것을 해석적으로도 보였다. 둘째로 복잡계의 고차 상호작용에서 나타나는 허브 구조가 상전이와 임계현상 에 어떤 영향을 미치는지 동기화 모형의 해석적, 수치적 분석을 통해 규명하였다. 이중 안정성, 다중 안정성을 보이는 두 가지의 전역 결합(globally coupled) 모형을 다루었는데, 공통적으로 고차 상호작용이 불연속 상전이와 임계 현상을 동시에 함 유하는 하이브리드 상전이를 유발한다는 것을 확인하였다. 비균질적 구조를 지닌 척도없는 고차 네트워크에서 정의되는 이중 안정 모형에 서연결선수분포지수의특정값(λc = 2+1/(d−1))을기준으로동기화해의 양상(임계현상) 이 급격하게 변한다는 사실을 수치적 및 해석적으로 도출했다. 도 수분포지수가임계지수보다작은경우인λ < λc일때에,즉허브의영향력이큰 영역에서는무조건적동기화현상이나타나고,그렇지않은경우,λ = λc 일때연속 상전이가, λ > λc 일 때 폭발적인 하이브리드 동기화 상전이(hybrid synchronization transition)가 발견된다.

A complex system is a system in which many elements interact one another in heterogeneous forms. Networks have been widely used to describe the universal charateristics of the structural properties and dynamical behavior of the system by representing each element as a vertex and their interactions as edges. However, network representation has an inherent limitation that stems from the definition. Since an edge can only express the relationship between two elements, it is difficult to express elements that do not show pairwise interaction. A higher-order network is a generalization of a net- work consisting of vertices and higher-order connections, which is not restricted from this limitation as it considers interactions of three or more elements. First, in this dissertation, we analyzed the empirical data and model of a growing complex system from the perspective of a higher-order network and described the evolutionary stages of the complex system in simplicial complex representation. The stages of establishing connectivity and robustness, including the stage of the birth, were separated by the topological quantity, the Betti numbers. It was shown that loop formations in the macroscopic length scale, which is a typical characteristic of the stage where connectivity is established, can be quantified by the first Betti number. Furthermore, the formation of locally closed surface which begins to appear as the density of the system increases, which can be interpreted as robustness enhancement, can be quantified by the second Betti number. It has been confirmed that the Betti numbers emerge and increase successively in growing higher-order interacting systems by studying several simplicial complexes models. In particular, it was numerically confirmed that the Betti numbers defined in the growing scale-free simplicial complexes also exhibit phase transitions, homological percolation transitions. Furthermore, we analytically show that the first Betti number exhibits the same transitional behavior as the percolation phase transition in both the graph and the simplicial complex. Second, we investigated the effect of the hub structure in higher-order interactions of complex systems on phase transitions and critical phenomena through analytical and numerical analysis of the higher-order synchronization models. Two models of globally coupled oscillators showing bistability and multistability were dealt with. It was confirmed that higher-order interactions promote a discontinuous synchronization transition with critical phenomena, a hybrid synchronization transition. It was derived numerically and analytically that the behavior of the synchronization transition changes abruptly based on a specific value of the exponent of degree distri- bution (λc = 2 + 1/(d − 1)) in the bistable model defined in a scale-free higher-order network with a heterogeneous structure. When the exponent of degree distribution is smaller than the critical value (λ < λc), unconditional synchronization occurs due to a large amount of influence of the hub. Otherwise, for λ = λc, ordinary second-order synchronization transition occurs, and for λ > λc, an explosive hybrid synchronization transition emerges.