Maximal and sharp regularity bounds on averages over curves

Abstract

In this thesis, we study the problems of characterizing maximal and smoothing bounds on averages over curves in R^d. Maximal and sharp smoothing estimates for integral transforms defined by averages over submanifolds are fundamental subjects in harmonic analysis, which have been extensively studied since the 1970s. Despite the simple geometric structure of curves, maximal and smoothing bounds on averages over curves have remained largely unknown except for those in low dimensions.We make breakthrough contributions to the problems in every dimension. First of all, we prove the optimal Lp Sobolev regularity estimate for averages over curves in every dimension d≥3 except for some endpoint cases. This settles the conjecture raised by Beltran, Guo, Hickman, and Seeger. Secondly, we obtain the local smoothing estimate of sharp order. As a consequence, we establish, for the first time, nontrivial Lp boundedness of the maximal averages over curves when d≥4. Lastly, we prove the maximal bound on the optimal range when d=3.

이 학위 논문에서는 R^d 곡선으로 정의되는 평균에 대한 극대 유계와 정칙성을 규명하는 연구를 진행한다. 다양체 위에서 평균으로 정의되는 적분 변환의 극대 유계와 최적 정칙성 문제는 조화 해석학의 기본 주제로, 1970년대부터 널리 연구되어 왔다. 곡선의 간단한 기하학적 구조에도 불구하고, 곡선 위에서 평균의 극대 유계와 최적 정칙성은 낮은 차원 일부를 제외하고 거의 알려지지 않았다. 이 논문의 결과는 모든 차원에서 이들 문제들에 돌파구를 마련하는 획기적인 기여를 한다. 첫째, 삼차원 이상에서 곡선 위의 평균 연산자에 대한 최적 소볼레프 정칙 유계를 부분적 끝점 문제를 제외하고 모두 증명한다. 이는 벨트란, 구오, 히크만, 시거에 의해 제기된 추측을 완전히 해결한 것이다. 둘째, 삼차원 이상 공간안의 곡선위에서 평균값 연산자의 국소 평활 유계를 최적 차수까지 증명한다. 그 결과로, 사차원 이상에서 자명하지 않은 극대 유계를 최초로 보인다. 마지막으로, 삼차원 공간안의 곡선위에서 극대 유계를 최적 범위에서 증명한다.