Regularity theory for local and nonlocal measure data problems

Abstract

In this thesis, we establish various regularity results for nonlinear measure data problems. The results obtained are part of a program devoted to nonlinear Calderón-Zygmund theory and nonlinear potential theory. Firstly, we obtain maximal integrability and fractional differentiability results for elliptic measure data problems with Orlicz growth and borderline double phase growth, respectively. We also obtain fractional differentiability results for parabolic measure data problems under a minimal assumption on the coefficients. Secondly, we obtain gradient potential estimates and fractional differentiability results for elliptic obstacle problems with measure data, by using linearization techniques. In particular, we develop a new method to obtain potential estimates for irregular obstacle problems. For the case of single obstacle problems with L¹-data, we further obtain uniqueness results and comparison principles in order to improve such regularity results. Lastly, we show existence, regularity and potential estimates for mixed local and nonlocal equations with measure data. Also, as a first step to the regularity theory for anisotropic nonlocal problems with nonstandard growth, we establish Hölder regularity for nonlocal double phase problems by identifying sharp assumptions analogous to those for local double phase problems.

이 학위논문에서는 비선형 측도 데이터 문제들에 대하여 다양한 정칙성 결과들을 얻는다. 해당 결과들은 비선형 칼데론-지그문트 이론 및 비선형 퍼텐셜 이론을 다루는 과정의 일부이다. 첫 번째로, 오를리츠 성장조건 및 경계선 이중위상 성장조건을 가지는 타원형 측도 데이터 문제에 대하여 각각 최대 적분성 및 분수차수 미분성 결과를 얻는다. 또한 포물형 측도 데이터 문제에 대하여 분수차수 미분성을 계수에 대한 최소한의 가정 하에서 증명한다. 두 번째로, 측도 데이터를 가지는 타원형 장애물 문제에 대하여 선형화 기법을 이용함으로써 그레이디언트 퍼텐셜 가늠 및 분수차수 미분성을 증명한다. 특히 비정칙 장애물 문제에 대해 퍼텐셜 가늠을 얻기 위한 새로운 방법을 개발한다. 더 나아가, L¹ 데이터를 가지는 단일 장애물 문제에 대하여는 해의 유일성 및 비교 원리를 증명하여 이러한 정칙성 결과들을 개선한다. 마지막으로, 측도 데이터를 가지는 국소 및 비국소 혼합 방정식에 대하여 해의 존재성, 정칙성 및 퍼텐셜 가늠을 증명한다. 또한, 비표준 성장조건을 가지는 비등방적 비국소 문제에 대한 정칙성 이론의 첫걸음으로서, 비국소 이중위상 문제에 대한 횔더 정칙성을 국소 이중위상 문제의 경우과 유사한 최적의 조건 하에서 증명한다.