Spectral tail parameter estimation under fixed domain asymptotics

Abstract

When it comes to fixed domain asymptotics for stationary Gaussian random fields, there are many results emphasizing the role of tail behavior of spectral densities. Examples are smoothness of random fields, asymptotically optimal kriging under misspecified spectral density and equivalence of Gaussian measures. Assuming parametric tail behavior structure on spectral density, this dissertation aims to estimate parameters therein consistently under fixed domain asymptotics. Specifically, we focus on the data collected on a regular lattice in a fixed bounded subset of d-dimensional Euclidean space and develop periodogram-based spectral domain approach to construct objective functions which resemble Whittle likelihood. Smoothed periodogram emerges as an important statistics during the construction, thus we first proved consistency and asymptotic normality of smoothed periodogram under fixed domain asymptotics. Next, based on two types of smoothed peridograms, tapered periodogram and smoothed periodogram with a compactly supported kernel, we construct a Whittle type objective function whose minimizer becomes an estimator for spectral tail behavior parameters. Consistency and asymptotic order of our estimators are derived with asymptotic normality for some cases. As a byproduct, our result enables statistical inference for the estimated parameters. Simulation experiments are included to support our theoretical results. As real world applications, we analyze sea ice profiles data and monthly maximum temperature data.

정상 가우스 무작위장에 대한 고정 도메인 점근론에서는 스펙트럼 밀도함수의 꼬리행동의 역할을 강조하는 결과가 많다. 무작위장의 평활도, 잘못 지정된 스펙트럴 밀도함수를 통한 점근적 최적 크리깅, 그리고 가우시안 척도 등이 그 예시이다. 본 논문은 스펙트럴 밀도함수에 대한 꼬리 행동 모수 모형을 가정하였을 때, 고정 도메인 점근법 하에서 꼬리 행동 모수에 대한 일치추정량을 제안하는 것을 목표로 한다. 구체적으로, d차원 유클리드 공간의 유계 부분 집합 위의 정규 격자에서 수집된 데이터에 초점을 맞추었으며, 스펙트럴 영역에서의 분석법을 개발하기 위해 피리오도그램을 기반으로 Whittle 가능도 함수와 유사한 목적함수를 구성하였다. 이 과정에서 평활화된 피리오도그램이 중요하게 등장하므로 고정 도메인 점근법에서 평활화된 피리오도그램의 일치성과 점근정규성을 먼저 증명하였다. 다음으로, 테이퍼드 피리오도그램과 옹골 지지 커널로 평활화된 피리오도그램이라는 두 종류의 평활화된 피리오도그램을 기반으로, Whittle 가능도 함수와 유사한 목적함수를 구성하여 이를 최소로 만드는 해를 스펙트럴 꼬리 행동 모수의 추정량이 되도록 하였다. 추정량의 일치성과 수렴 속도, 그리고 일부 경우에서의 점근정규성을 증명하였다. 이 결과를 통해 추정량에 대한 통계적 추론이 가능해진다. 이론적 결과를 뒷받침하기 위한 시뮬레이션 실험을 진행하였으며, 현실 상황에서의 응용 예시로써 해빙 프로파일 데이터와 월간 최대 온도 데이터를 분석하여 제시하였다.