Homological Mirror Symmetry and Geometry of Degenerate Cusp Singularities

Abstract

Under homological mirror symmetry, we establish an explicit correspondence of Lagrangians in pair-of-pants surface (A-model) and Cohen-Macaulay modules over the degenerate cusp singularity defined by xyz=0 (B-model).

In A-model, we show that Cho-Hong-Lau's localized mirror functor is stable under homotopy of Lagrangians. It motivates us to introduce loop/arc data to parameterize Lagrangians equipped with a holonomy. Their mirror images under the mirror functor provide the canonical form of matrix factorizations of xyz.

In B-model, we review Burban-Drozd's representation of Cohen-Macaulay modules, whose indecomposable isomorphism classes are classified and parameterized by band/string data. We introduce a combinatorial method to compute their corresponding matrix factorizations of xyz.

It turns out that there is a conversion formula between loop/arc data and band/string data, which translates Burban-Drozd's classification result of Cohen-Macaulay modules into the language of matrix factorizations, presenting their explicit canonical form. It realizes a one-to-one correspondence between indecomposable isomorphism classes of Lagrangians and Cohen-Macaulay modules. As a consequence, we find their relation with geodesics in hyperbolic pair-of-pants.

For a geometric understanding of Cohen-Macaulay modules over degenerate cusp singularities, we develop a new geometric notion called degenerate vector bundles over those singularities. It naturally induces Cohen-Macaulay modules from Burban-Drozd's representation, providing the concrete geometry underlying our computation.

이 학위논문에서는 호몰로지 거울대칭 하에서 바지 곡면(pair-of-pants surface)의 Lagrangian(A-모델)과, xyz=0으로 정의되는 퇴화첨단특이점(degenerate cusp singularity) 위의 Cohen-Macaulay 모듈(B-모델)의 대응 관계를 밝힌다.

먼저 A-모델에서 Cho-Hong-Lau의 지역화된 거울함자(localized mirror functor)가 Lagrangian의 호모토피 하에서 안정적(stable)이라는 것을 보인다. 이로부터 루프/아크 데이터를 정의하여 홀로노미가 부여된 Lagrangian들을 매개화한다. 지역화된 거울 함자 하에서 이들의 거울대칭 상은 xyz의 행렬 인수분해의 표준형을 제공한다.

한편 B-모델에서는 Cohen-Macaulay 모듈의 표현에 대한 Burban-Drozd의 이론을 복습한다. 여기서 이들의 분해불가능한 동형 클래스들은 밴드/스트링 데이터로 분류 및 매개화된다. 우리는 조합론적인 방법론을 도입하여 이들에 대응하는 xyz의 행렬 인수분해를 계산한다.

루프/아크 데이터와 밴드/스트링 사이에는 변환 공식이 있음이 밝혀지는데, 이는 Cohen-Macaulay 모듈에 대한 Burban-Drozd의 분류 결과를 행렬 인수분해의 언어로 바꾸며 명시적인 표준형을 제시한다. 이것은 또한 Lagrangian과 Cohen-Macaulay 모듈의 분해불가능한 동형 클래스들 간의 일대일 대응을 구체화한다. 결과적으로 이들이 하이퍼볼릭 바지 곡면의 측지선들과 연관되어있음을 보인다.

퇴화첨단특이점 위의 Cohen-Macaulay 모듈의 기하학적인 이해를 위해, 특이점 위의 퇴화벡터다발(degenerate vector bundle)이라는 새로운 기하학적 개념을 도입한다. 이것은 Burban-Drozd의 표현으로부터 Cohen-Macaulay 모듈을 자연스럽게 유도하며, 우리의 계산의 기저에 있는 기하학을 제시한다.