Primitively n-universal quadratic forms of minimal rank

Abstract

For a prime p and a positive integer n, an integral quadratic form over the ring Zp is called primitively n-universal if it primitively represents all integral quadratic forms of rank n over Zp. In [7], Earnest and Gunawardana provided some criteria for determining whether or not a given integral quadratic form over Zp is primitively 1-universal. In this thesis, we prove that the minimal rank of primitively n-universal integral quadratic form over Zp is 2n, if p is an odd prime or if p = 2 and n ≥ 5. Moreover, we obtain a complete classification of primitively 2-universal integral quadratic forms over Zp of minimal rank. For a positive integer n, a positive definite integral quadratic form is called primitively n-universal if it primitively represents all positive definite integral quadratic forms of rank n. It was proved in [11] that there are exactly 107 primitively 1-universal quaternary integral quadratic forms up to isometry. In this thesis, we prove that the minimal rank of primitively 2-universal integral quadratic forms is six, and we prove that there are exactly 201 primitively 2-universal senary integral quadratic forms up to isometry.

소수 p 및 양의 정수 n에 대하여, 환 Zp 위의 랭크가 n인 정수계수 이차형식을 모두 원시적으로 표현하는 Zp 위의 정수계수 이차형식을 원시 n보편 형식이라 한다. Earnest와 Gunawardana는 [7]에서 어떤 Zp 위의 정수계수 이차형식이 원시 1보편 형식인지 판단할 수 있는 기준을 제시하였다. 이 논문에서는, p가 홀수인 소수이거나 n이 5 이상이면, Zp 위의 원시 n보편 형식의 최소 랭크가 2n임을 증명하였다. 나아가, Zp 위의 최소 랭크의 원시 2보편 형식을 완전히 분류하였다. 양의 정수 n에 대하여, 랭크가 n인 양의 정부호 정수계수 이차형식을 모두 원시적으로 표현하는 양의 정부호 정수계수 이차형식을 원시 n보편 형식이라 한다. [11]에서는 사변수 원시 1보편 정수계수 이차형식은 등장동형인 것을 같게 볼 때 정확히 107개 있음을 증명하였다. 이 논문에서는, 원시 2보편 정수계수 이차형식의 최소 랭크가 6임을 증명하고, 또 육변수 원시 2보편 정수계수 이차형식은 등장동형인 것을 같게 볼 때 정확히 201개 있음을 증명하였다.