Estimates of heat kernels for jump processes with degeneracy and critical killing

Abstract

Transition densities of Markov processes are of significant interest in both probability and analysis. The transition density $p(t,x,y)$ of a Markov process with generator $\mathcal L$ is the fundamental solution of the equation $\partial_tu = \mathcal L u$. Hence the transition density $p(t,x,y)$ is also called as the heat kernel of $\mathcal L$. However, an explicit expression of the heat kernel is rarely known. Due to the importance of heat kernels, there is a huge body of literature on the heat kernel estimates. The thesis consists of six parts concerning heat kernel estimates for Markov jump processes. The first part devotes to estimates for subordinators, namely, nondecreasing L\'evy processes on $\mathbb R$. The second part considers heat kernels for non-local operators with critical killings. The third part studies subordinate killed Markov processes with help from the previous two parts. Motivated by the third part, in the fourth part, we study heat kernel estimates for jump processes with degeneracy and critical killing using Dirichlet form theory. The fifth part is concerned with the fundamental solution of general time fractional equations with Dirichlet boundary condition. In the last part, we study Dirichlet heat kernel estimates for isotropic unimodal L\'evy processes with low intensity of small jumps.

마르코프 확률과정의 추이확률밀도는 확률론과 해석학 모두에서 중요한 연구대상이다. 무한소생성자가 $\mathcal L$로 주어진 마르코프 확률과정의 추이확률밀도함수 $p(t,x,y)$는 편미분방정식 $\partial_t u = \mathcal L u$의 기본해이다. 따라서 추이확률밀도 $p(t,x,y)$는 작용소 $\mathcal L$의 열핵으로도 알려져있다. 열핵의 중요성에도 불구하고, 열핵에 대한 정확한 표현은 극히 드문 경우에만 알려져있다. 대신에, 열핵에 대한 추정에 대해 많은 연구가 이루어지고 있다. 본 학위논문은 마르코프 도약과정의 열핵 추정에 대한 것으로 크게 여섯 부분으로 이루어져 있다. 논문의 첫번째 부분에서는 종속자, 즉, 감소하지 않는 일차원 레비 과정을 다룬다. 두번째 부분에서는 임계 킬링이 있는 비국소적 작용소의 열핵을 다룬다. 이를 통해 세번째 부분에서는 킬링이 있는 마르코프 확률과정의 종속과정에 대한 연구를 진행한다. 네번째 부분에서는, 열핵의 안정성 이론의 관점에서 세번째 부분의 결과를 바탕으로, 디리클레 형식을 이용하여 정의된 퇴화와 임계 킬링이 있는 도약과정의 열핵에 대한 추정을 연구한다. 다섯번째 부분은 일반적인 시간분수적 디리클레 문제의 기본해에 대한 것이다. 마지막 부분에서는 작은 도약이 비교적 드물게 일어나는 등방성 단봉분포를 갖는 레비 과정의 디리클레 열핵에 대한 추정을 다룬다.