Group Rings Isomorphic to an Integral Group Ring With Periodic Group Basis

Abstract

이 論文에서 有限群 G에 대한 整數環 위의 群環 Z〔G〕에 대하여, Berman, Glauberman, Whitcomb, Jackson, Passman 등에 의하여 밝혀진 內容을 周期群 G에 대한 群環 Z〔G〕에 一般化하여 다음과 같은 結果가 성립함을 밝혔다. 周期群 G,H에 대하여, Z〔G〕≅ Z〔H〕이면 다음이 성립한다. 1. Z(G)≅Z(H). 단, Z(G), Z(H)는 각각 群 G,H의 中心이다. 2. G/G≅H/H. 단, G',H'은 각각 G,H의 交換子部分群이다. 3. {l}=Z₀(G)⊆Z₁(G)⊆…⊆Zn(G)⊆…, {I} =Z₀(H)⊆Z₁(H)⊆…⊆Zn(H)⊆… 을 각각 G, H의 upper central series라 하면, 모든 n에 대하여 Z〔G/Zn(G)〕≅Z〔HjZη(H)〕이고 Zn-1(G)/Zn(G)≅Zn-1(H)/Zn(H). 4. trG, trH를 각각 Z〔G〕, Z〔H〕의 trace map이라 하면, 임의의 同型寫像 ϴ: Z〔G〕→Z〔H〕에 대하여 trHϴ=trG. 5. ϴ: Z〔G〕→Z〔H〕를 同型寫像이라 할 때, 임의의 α∊C(Z〔G〕)에 대하여 ϴ(α*)=ϴ(α)* 단, C(Z〔G〕)는 Z〔G〕의 中心이고 α=∑axx라 할 때 a*=∑axx-1이다. 6. L₁,L₂를 각각 G, H의 有限正規部分群 전체로 이루어진 束(lattice)이라 할 때, 각 N∊L₁에 대하여 ⨍(N)=η(N)인 束同型寫像 ⨍:L₁→L₂와 環同型寫像 η:Z〔G〕→Z〔H〕가 존재하고 Z〔G/N〕≅ Z〔H/η(N)〕이다. 7. G를 임의의 群, H를 G의 周期部分群이라 할 때, 群 H/H'은 덧셈군 ω(Z〔H〕)Z〔G〕/ω(Z〔H〕)ω(Z〔G〕)과 同型이다. 단, ω(Z〔G〕), ω(Z〔H〕)은 각각 Z〔G〕, Z〔H〕의 augmentation ideal이다.